Про визначення компактних слабких кардиналів
Я прочитав у теорії набору Єха розділ про великих кардиналів. Обговоривши вимірюваних кардиналів, він звертається до слабо компактних кардиналів, про які йшлося набагато раніше в книзі. Я повернувся до розділу про слабких кардиналів і почав переосмислювати його.
Нарешті, він дійшов до цього моменту:
Denumim $ [k] ^ n = \ $. Якщо $ \ lambda $ є кардиналом, ми будемо називати $ \ kappa \ to (\ lambda) ^ 2 $, коли для кожного розділу $ [\ kappa] ^ 2 $ в $ 2 $ ми маємо $ H \ subseteq \ kappa $, який потужності $ \ lambda $, і для якої $ [H] ^ 2 $ строго в одну сторону.
І ми говоримо, що $ \ kappa $ є слабо компактним, якщо задовольняє властивості $ \ kappa \ to (\ kappa) ^ 2 $.
Проблема в тому, що я трохи загубився у всіх цих визначеннях і навіть не впевнений у позначенні $ \ kappa \ to (\ lambda) ^ 2 $.
Мої запитання, якщо так, чи може хтось допомогти мені зрозуміти певні визначення, і існує еквівалентне визначення для компактних слабких кардиналів, яке може допомогти мені краще зрозуміти їх властивості.?
2 відповіді
Існує багато способів думати про ці визначення. Ось метод, який ми можемо зрозуміти, наприклад, що означає $ [\ kappa] ^ 2 $ і що означає мати однорідну підмножину, яку я вважаю інтуїтивно зрозумілою.
Припустимо, у вас є абсолютно ненаправлений графік з безліччю вузлів $ \ kappa $. Це означає, що у вас є $ \ kappa $ і кожна їх пара з'єднана лінією. Тепер припустимо, що ми маємо два кольори, червоний і синій, і що кожен рядок між двома вузлами забарвлений або в червоний, або в синій. Підмножина цих вузлів $ \ kappa $ називається однорідною, якщо лінії між кожним з її вузлів мають однаковий колір (те саме, що сказати, що він має повний підграф, рядки якого мають один колір).
Тепер ми говоримо, що $ \ kappa \ to (\ lambda) ^ 2 $ відповідає дійсності, якщо, незалежно від фарби, які використовуються два кольори, ми можемо знайти однорідний набір потужності $ \ lambda $. Тобто для кожного способу, в якому колір ліній ми знаходимо $ \ lambda $ багато вузлів, щоб кожен рядок між ними мав однаковий колір.
Іншими словами, для кожної функції $ f: [\ kappa] ^ 2 \ to 2 $ (це можна розглядати як функцію, яка посилає кожні два елементи $ \ kappa $ в один із двох кольорів), ми можемо знайти ($ h $), який має потужність $ \ lambda $, так що для кожного $ x, y, z, w \ в H $ ми маємо $ f (\) = f (\) $.
Узагальнити цю функцію, якщо для кожної функції $ f: [\ kappa] ^ n \ to \ mu $ (знову ви можете розглядати цю функцію як функцію, яка відправляє кожні $ n $ елементи $ \ kappa $ в одну з $ \ mu $ або що він ділить підмножини $ \ kappa $ потужності $ n $ на $ \ mu $ розділи), ми можемо знайти набір $ H $ так, щоб $ \ left | Н \ праворуч | = \ лямбда $ і для кожного $ x_1, \ ldots, x_n, y_1, \ ldots, y_n \ у H $ ми маємо $ f (\) = f (\
Позначення стрілки, хоча спочатку здається дивним, використовується, оскільки властивість залишається істинним, якщо ми замінимо кардинала в лівій частині стрілки більшим кардиналом або якщо замінимо будь-якого кардинала в правій частині стрілки меншим кардиналом (якщо нижній індекс в лівій частині стрілки опущений, то передбачається, що він дорівнює 2). Має бути очевидним, що позначення має значення лише в тому випадку, якщо $ \ lambda додано 7 вересня 2010 року о 02:48 автор Джонатан