Розв’язати рівняння Розв’язати пояснення та приклади
Як можна розв’язувати рівняння? Це саме те, що ця стаття пропонує пояснення, приклади та вправи. Ми розглядаємо прості лінійні рівняння, квадратні рівняння та функції вищого порядку. Системи рівнянь можуть бути вирішені за допомогою методів Гауса, методів заміщення або методів додавання. Загалом, метою є знайти кількість розчину з перетвореннями. Ця стаття є частиною нашого розділу з математики.
Як можна розв’язати рівняння? Ну, це залежить від типу рівняння. І саме з цієї причини ми логічно маємо справу тут з різними типами рівнянь. Почнемо з розв’язування лінійних рівнянь.
Розв’язати або розв’язати рівняння: Лінійне рівняння
Розв’язування лінійних рівнянь вже довело багатьох учнів до відчаю. Тож давайте почнемо дуже просто. Отже, ми починаємо з чогось, що кожен повинен знати з початкової школи, рівняння. Без жартів!
Це дуже просте рівняння. Оскільки ліворуч отримуємо 7, а праворуч - 7. Тож отримуємо 7 = 7, істинне твердження. Це стосується і розв’язування лінійних рівнянь. Новим зараз є те, що в рівнянні з’являється ще одна змінна. Що таке змінна Змінна - це, так би мовити, "заповнювач" числа. Принаймні у переважній більшості випадків це число. У математиці для нього зазвичай використовують букву. Це, наприклад, a, b, x або y. Пізніше замість цієї змінної буде використано число. Мета - з’ясувати, яке число змінної. І саме з цим ми матимемо справу в наступних розділах.
Як вже пояснювалось у вступі, тепер потрібно вирішити лінійне рівняння з невідомим. Цю невідомість зазвичай називають "х" у класі, можливі й інші літери (змінні). Мета полягає в тому, що "х = число" може бути подане як рішення в кінці. Починається з дуже простого завдання. Це пояснюється нижче.
Прокручування таблиці праворуч
| Приклад 1: | |
| x + 2 = 5 | | -2 |
| х = 3 |
Перший рядок містить вихідне рівняння, яке вирішується для змінної x. Для цього т. Зв Еквівалентні перетворення або іноді просто проводяться перетворення. Це означає: Зовнішній вигляд рівняння змінено, але зліва відображається те саме значення, що і в правій частині рівняння. Для того, щоб вирішити питання "х", 2 зліва потрібно "усунути". Щоб прибрати +2, слід очікувати "-2". Для кращого огляду всі арифметичні дії супроводжуються знаком "|" письмовий. Тож зараз "| -2" записано, щоб чітко зрозуміти, що слід відняти 2. Дуже, дуже важливо: Арифметичні дії потрібно виконувати з обох сторін. Якщо я обчислюю "-2" ліворуч, це також потрібно робити праворуч!
Прокручування таблиці праворуч
| + 5
Прокручування таблиці праворуч
| Приклад 3: | |
| 4 = x + 2 | | -2 |
| 2 = х |
Прокручування таблиці праворуч
| Приклад 4: | |
| 4 - 3 + x = 5 - 2 | |
| 1 + x = 3 | | -1 |
| х = 2 |
Стільки про додавання та віднімання рівнянь. Приклад 4 наочно показує, що часто має сенс спростити рівняння до здійснення будь-яких перетворень.
Множення і ділення:
Поки що вам довелося обчислити за допомогою "-2", щоб виключити "+2" і навпаки. Це також стосується множення та ділення з метою вирішення відповідних рівнянь. Щоб видалити "· 5", вам потрібно обчислити ": 5". Спочатку звучить трохи дивно, але наступне завдання показує, як це працює. Тут теж слід вирішити питання "x".
Прокручування таблиці праворуч
| Приклад 5: | |
| 5 · х = 15 | |: 5 |
| х = 3 |
Щоб "х" стояло окремо, його потрібно розділити на 5. Оскільки: 5: 5 = 1 і 1 · x = x. Якщо це занадто складно для вас, ви просто повинні пам’ятати: щоб дістати 5 х, я повинен ділити на 5. Примітка: Позначення 5 x математично відповідає 5x. Якщо між числом і змінною немає арифметичного символу, здійснюється множення. Так само і з наступними завданнями.
Прокручування таблиці праворуч
0,5x = 2
Прокручування таблиці праворуч
| Приклад 7: | |
| 5 = 0,2x | |: 0,2 |
| 25 = х |
Давайте трохи ускладнимо все це. Для наступних завдань потрібно буде звернути увагу на крапку перед рядком та дужки. В іншому випадку результати (як правило) будуть помилковими. Як завжди, почнемо з прикладу.
Прокручування таблиці праворуч
| Приклад 8 | |
| 5 · 8 + x = 10 | |
| 40 + х = 10 | | -40 |
| х = -30 |
Тут застосовується те саме: обчислення балів перед обчисленням рядків. Спочатку обчислюються множення та ділення, а потім додавання і віднімання. І ще два завдання:
Прокручування таблиці праворуч
| Приклад 9: | |
| 40 + 20x = 20 | |: 20 |
| 2 + x = 1 | | -2 |
| x = -1 |
Прокручування таблиці праворуч
| Приклад 10: | |
| 3 + 5 · 2 + 5x = 10 | |
| 3 + 10 + 5x = 10 | |
| 13 + 5x = 10 | | -13 |
| 5x = -3 | |: 5 |
| х = -0,6 |
Розв’язати або розв’язати рівняння: Квадратні рівняння
Ми щойно мали справу з розв’язуванням або розв’язанням лінійних рівнянь. Тепер перейдемо до розв’язування квадратних рівнянь. Звідси закономірно виникає питання: що таке квадратне рівняння? Ну, це рівняння з формою ax 2 + bx + c = 0 або рівняння, яке можна перетворити на цю форму. Змінні a, b і c означають будь-яке число, де a має бути ненульовим. Далі йдуть два приклади або завдання: 3x 2 + 5x + 3 = 0 або x 2 + 2x + 1 = 0.
На відміну від "простих" рівнянь, які ми знали дотепер (приклад: x + 5 = 0), тут все ще є квадратична складова. То як же розв’язати це рівняння для х? Відповіддю на це питання є формула PQ, яку ми хочемо дослідити в цьому розділі. Примітка: Окрім формули PQ, існують і інші способи вирішення квадратного рівняння (формула опівночі або формула ABC, а також поліноміальне ділення). У цій вичерпній статті про розв’язання рівнянь ми хотіли б детально представити лише один варіант і визначитися з формулою PQ.
Розв’яжіть квадратне рівняння: формула розв’язку
Як можна розв’язати таке рівняння? Для розв’язання рівняння, такого як x 2 + 2x + 1 = 0 для x, ми використовуємо формулу PQ нижче. Перш за все, я дам вам формулу та деяку загальну інформацію. Не панікуйте: кілька завдань пояснюють це нижче.
Розв’яжіть квадратне рівняння:
- Покладіть рівняння у вигляді x 2 + px + q = 0
- Дізнайтеся "p" і "q"
- Підключіть це до формули PQ
- За його допомогою обчислюйте рішення
Стільки про план. Час прояснити це кількома завданнями. Дотримуйтесь цих прикладів, використовуючи 4-точковий список зверху.
Важлива ПРИМІТКА: Щоб не плутати учнів із великою кількістю дробів, деякі приклади було зведено.
Приклад 1:
Пояснення: "3" перед x 2 вам заважає! Завжди має бути "1", тобто 1x 2. Для цього розділіть на 3. Потім прочитайте p і q. Числа p і q вставляються у формулу розчину. Потім обчислюється вираз до і під коренем. Потім корінь береться зі значення і додається один раз і віднімається один раз. Квадратне рівняння має максимум два реальних рішення. Отже, у школі квадратне рівняння має максимум два рішення, у дослідженнях воно завжди має два рішення (якщо ви допускаєте комплексні числа, але ми тут з ними не маємо справи).
Приклад 2:
Пояснення: Оригінальне завдання вже у правильній формі. Тому p і q можна визначити однаково. Потім вставте це в рівняння і обчисліть. Як видно з результату, рішення -2 існує двічі, тобто x1 = -2 та x2 = -2.
Розв’яжіть рівняння з від’ємним коренем
Є ще дві поради щодо вирішення квадратних рівнянь або квадратних функцій за формулою PQ:
- Якщо ви обчислюєте числа під коренем, а тоді під коренем є від’ємне число, ви можете перервати. Тоді рівняння не має рішення (принаймні не для учнів, студентам тоді доводиться робити уявну арифметику).
- Зверніть увагу на знак! Наприклад, якщо вам потрібно розв’язати задачу x 2 -5x + 3 = 0, то p = -5. Потім вам потрібно використовувати це -5 у формулі PQ!
Для обох випадків ви можете знайти приклад тут:
Розв’яжіть рівняння: формула ABC або формула опівночі
Розв’язування рівнянь - а точніше квадратних рівнянь - також може здійснюватися за формулою ABC або формулою опівночі. Формула ABC дуже схожа на формулу PQ і використовується для розв’язання квадратних рівнянь. Якщо правильно розрахувати, ви отримаєте однаковий результат з обома формулами. Тепер випливає загальна формула та рішення, а потім ми звернемось до прикладу.
Детальніше про цей спосіб рішення у статті Формула ABC.
Розв’язування рівнянь: 3-й ступінь і вище
Поліноміальне ділення - це математичний метод, який використовується для обчислення нулів поліномів. Він також може бути використаний для розв’язування рівнянь вищого ступеня. Метод обчислення схожий на письмовий поділ, який ви знали в початковій школі. З цієї причини в наступному ми спочатку коротко обговоримо письмове ділення, а потім застосуємо ці знання до поліноміального ділення.
Щоб не робити статтю довшою, у відповідній статті є все інше про поліноміальне ділення: Поліноміальне ділення.
Розв’язувати системи лінійних рівнянь
Давайте подивимося на вирішення рівнянь по-іншому. Перш за все, ви повинні знати, що мається на увазі під системою рівнянь з двома змінними. Перш за все, невеликий приклад: Ви ходите по магазинах і знаєте, що 6 яблук та 12 груш особливо хорошої якості коштують 30 євро. А ви знаєте, що 3 яблука та 3 груші коштують 9 євро. Зараз виникає питання: що коштує яблуко чи груша? Оскільки терміни яблука та груші занадто довгі, ми замінюємо "х" на ціну яблука, а "у" - на ціну груші. Це призводить до таких рівнянь (порівняйте їх з інформацією в тексті!):
Прокручування таблиці праворуч
| 6-й | Яблука | і | 12-й | Груші | витрати | 30 євро |
| 6-й | х | + | 12-й | р | = | 30-й |
| 3 | Яблука | і | 3 | Груші | витрати | 9 євро |
| 3 | х | + | 3 | р | = | 9 |
Звичайно, це поки не виглядає настільки зрозумілим. З цієї причини в математику було введено такі позначення для кращого огляду:
Прокручування таблиці праворуч
| | 6x + 12р | = | 30 | | Рівняння No1 |
| | 3x + 3y | = | 9 | | Рівняння No2 |
Така система рівнянь свідчить: Ці рівняння належать одне одному. Це також є причиною того, чому вам доводиться вирішувати їх разом. Мета - отримати число для x та y, яке задовольняє обом рівнянням. І ми подбаємо про це зараз.
Щоб не робити статтю довшою, є все інше про лінійні системи рівнянь у наших системах статей лінійних рівнянь.
Подальші статті:
- Формула ABC: За допомогою формули ABC або формули опівночі ви також можете вирішувати квадратні рівняння. Ви можете дізнатись, як це працює, у нашій статті про формулу ABC.
- Поліноміальний поділ: Поліноміальне ділення - це метод пошуку нулів у рівняннях з більшою потужністю. Про те, як це працює, і як використовувати його для розв’язування рівнянь ви можете дізнатись у статті Поліноміальне ділення.
- нульова точка: Як ви знаходите нулі? Ви можете знайти докладну статтю з різними процедурами, прикладами та завданнями в статті Обчислення нулів.