Тропічна інтерполяція; EWSTПерекласти
Френк Соттіл
9 жовтня 2004 р., Стейшн-коледж, штат Техас.
Всім відомо, що дві точки визначають пряму, і багато людей, які вивчали геометрію, знають, що п'ять точок у площині визначають коніку. Загалом, якщо у вас є m випадкових точок на площині і ви хочете пройти раціональну криву ступеня d через всі, можливо, не буде розв’язання цієї проблеми інтерполяції (якщо m занадто велике) або нескінченна кількість рішень якщо m занадто мало) або кінцева кількість рішень (якщо m справедливе). Здається, що "m в самий раз" означає m = 3 d -1 (m = 2 для ліній і m = 5 для коніки).
Складніше питання, якщо m = 3 d -1, скільки раціональних кривих ступеня d інтерполюють точки? Назвемо це число N d, щоб N 1 = 1 і N 2 = 1, оскільки лінія та коніка попереднього абзацу унікальні. Давно відомо, що N 3 = 12, а в 1873 р. Зевтен [Ze] показав, що N 4 = 620. Саме тут стояли проблеми до приблизно десяти років тому, коли Концевич і Манін [KM] використовував асоціативність у квантовій когомології, щоб забезпечити елегантний рецидив для цього числа.
Теми досліджень в зимовому семестрі MSRI з топологічних аспектів реальної алгебраїчної геометрії включали реальну алгебраїчну геометричну геометрію, тропічну геометрію, реальні криві площини та застосування реальної алгебраїчної геометрії. Всі вони вплетені в історію цієї проблеми інтерполяції, прототипу завдання перелічення геометрії, яка є мистецтвом підрахунку геометричних фігур, що визначається заданими умовами падіння. Ось ще одна проблема: скільки рядків у просторі відповідають чотирьом заданим рядкам? Щоб відповісти на це, зверніть увагу, що три рядки лежать на одному двоголовому гіперболоїді.
Три рядки знаходяться в одному рішенні, а друге рішення складається з рядків, які відповідають трьом заданим рядкам. Оскільки гіперболоїд визначається квадратним рівнянням, четвертий рядок зустрінеться у двох точках. Через кожну з цих двох точок у другому судження є лінія, і це два рядки, які відповідають чотирьом заданим рядкам.
Геометричне перерахування найкраще працює для комплексних чисел, оскільки кількість дійсних цифр досить тонко залежить від конфігурації цифр, які дають умови падіння. Наприклад, четвертий рядок може зустрічатися з гіперболоїдом у двох реальних точках або у двох складних точках спряження, так що є дві реальні лінії або відсутні зустрічі, які відповідають усім чотирьом. На основі багатьох прикладів ми прийшли до того, що будь-яка перелічувальна проблема матиме всі свої реальні рішення [Отже].
Іншою проблемою є 12 раціональних кривих, які інтерполюють 8 точок на площині. Більшість математиків знайомі з вузловим (раціональним) кубом, показаним зліва нижче. Існує інший тип реальних раціональних кубіків, показаний праворуч.
На другій кривій у складній точці зустрічаються два складних сегменти кон’югатів. Якщо залишити N (t) кількість дійсних кривих типу t з інтерполяцією 8 точок, то Харламов і Дегтярьов [DK] показали, що N (
) = 8.Ось опис їх елементарних топологічних методів.
Оскільки таких кривих не більше 12, N () + N () \ leq 12, то існує 8, 10 або 12 реальних раціональних кубіків, які інтерполюють 8 реальних точок у площині, залежно від кількості (0, 1 або 2) кубики з ізольованою точкою. Таким чином, буде 12 реальних раціональних кубів, які інтерполюють будь-які 8 з 9 точок перетину між двома кубами нижче.
Вельшингер [W], який був доктором MSRI минулої зими, перетворив цей приклад на теорію. Загалом, особливістю раціональної кривої площини С є ізольовані вузли або точки. Парність кількості вузлів - це його знак s (C), який дорівнює 1 або -1. Враховуючи 3 d-1 реальних балів у плані, Вельшингер врахував абсолютне значення кількості
сума по всіх реальних раціональних кривих C ступеня d, які інтерполюють точки. Він зазначив, що ця зважена сума не залежить від вибору балів. Напишіть W d для цього інваріанта Вельшингера. Наприклад, ми бачили лише, що W 3 = 8.
Це було прогресування, оскільки W d (майже) був першим справді нетривіальним інваріантом у реальній алгебраїчній перелічувальній геометрії. Зауважимо, що W d - нижня межа кількості реальних раціональних кривих на 3 d -1 дійсних точок у площині та W d \ leq N d .
Михалкін, який був організатором семестру, передбачав, що ключ обчислення W d використовує тропічну алгебраїчну геометрію [Mi]. Це геометрія тропічного напівпричепа, де операції максимуму та + з дійсними числами замінюють звичайні операції + та множення. Тропічний поліном - це лінійна лінійна функція виду T (x, y) = max (i, j) < x i + y j + c i, j >,якщо обчислення здійснюється за звичайними арифметичними операціями, а максимум береться з кінцевої підмножини Z 2 показників T і c i, j - дійсні числа, коефіцієнти T. Тропічний поліном T визначає тропічну криву, яка є набором точок (x, y), де T (x, y) не диференціюється. Ось кілька тропічних кривих.
Ступінь тропічної кривої - це кількість променів, які прагнуть до нескінченності в будь-якому з трьох напрямків Заходу, Півдня або Північного Сходу. Тропічна крива є раціональною, якщо це лінійне занурення на шматки дерева. Вузли мають валентність 4.
Михалкін показав, що є лише численні тропічні раціональні криві ступеня d, що інтерполюють 3 d-1 загальні точки. Хоча кількість цих кривих залежить від вибору точок, Михалкін прикріпив позитивні кратності до кожної тропічної кривої, так що зважена сума не є, а насправді дорівнює N d. Він також звів ці множинність та перерахування тропічних кривих до комбінаторики решітчастих шляхів у трикутнику бічної довжини d .
Михалкін використав листування із щоденником карти: ( C. *) 2 -> Р. 2, визначене (x, y) | -> (log | x |, log | y |) та певна ”складної структури на ( C. *) 2. Нижче цієї великої комплексної межі, раціональні криві ступеня d, що інтерполюють 3 d -1 точки в ( C. *) 2 деформується на «складних тропічних кривих», зображення яких під Log - це звичайні тропічні криві, що інтерполюють зображення точок. Множина тропічної кривої T - це кількість складних тропічних кривих, які проектують T .
А як щодо реальних кривих? Слідуючи цій відповідності, Міхалкін додав реальну кратність до кожної тропічної кривої і показав, що якщо тропічні криві, які інтерполюють певну кількість точок 3 d -1, мають загальну реальну кратність N, то є 3 d -1 реальні точки, які інтерполюються N кривих реального ступеня d. Це справжнє безліч знову виражається через решітчасті шляхи.
А інвертор Вельшингера? Подібним чином Михалкін прикріпив сигнальну вагу до кожної тропічної кривої (тропічна версія знаку Вельшингера) і показав, що відповідна зважена сума дорівнює незмінній Вельшингера. Як і раніше, цей підписаний тропічний вагу можна виразити через решітчасті шляхи.
Протягом семестру в MSRI Ітенберг, Харламов та Шустін [IKS] використовували результати Міхалкіна, щоб оцінити незмінність Вельшингера. Вони показали, що W d \ geq d!/3, і, аналогічно W d = log N d + O (d), log N d = 3 d log d + O (d). Таким чином, принаймні логарифмічно, найбільш раціональні криві ступеня d інтерполюють 3 d -1 реальні бали в плані є реальними.
Є ще два випадки цього явища нижчих меж, перший з яких передує роботі Вельшингера. Припустимо, що d рівне, і нехай W (s) є дійсним многочленом ступеня k (d - k +1). Тоді Єременко та Габрієлов [Е.Г.] показали, що існують справжні поліноми f 1 (s),…, f k (s) ступеня d, детермінанта Вронскі яких W (s). Насправді вони виявились нижньою межею кількості k-плюсів багаточленів аж до еквівалентності. Подібним чином, перебуваючи в MSRI, Сопрунова та I [SS] вивчали рідкісні поліноміальні системи, пов’язані з позетами, показуючи, що кількість реальних рішень обмежується нижче знака дисбалансу множини. Такі нижчі межі перелічувальних задач, які передбачають існування реальних рішень, важливі для додатків.
Наприклад, ця історія була розказана за пивом одного вечора на семінарі MSRI з геометричного моделювання та реальної алгебраїчної геометрії в квітні 2004 р. Один учасник, Шичо, зрозумів, що результат W 3 = 8 для кубів пояснив, чому метод на що розвиває її до праці. Це був алгоритм для обчислення приблизної параметризації дуги кривої шляхом реальної кубічної раціональної інтерполяції 8 точок на дузі. Залишалося знайти умови, які гарантували б існування розчину, близького до дуги. Це було вирішено лише Фідлером-Ле Тузе, доктором MSRI, який вивчав кубики (не обов'язково раціональні), інтерполюючи 8 балів, щоб допомогти класифікувати реальні криві планети за ступенем 9.
Бібліографія
Ми хотіли б подякувати нашому редактору Сільвіо Леві та членам MSRI, діяльність яких ми описуємо.
За підтримки Національного наукового фонду грантами CAREER DMS-0134860 та DMS-9810361 (фінансування MSRI) та Математичним інститутом Глини.