1D модель

Рівняння:

Теплообмін у шарі регулюється наступним рівнянням:

Ми робимо припущення, щоб спростити наші рівняння, що дозволить їх вирішити:

Геометрія одновимірна вздовж осі х

Дієта постійна

Випромінювальні переноси частинки моделюються з використанням наближення Розселанда

Термодинамічні величини вважаються постійними.

Температура двох фаз усередині шару постійно змінюється хімічною реакцією. Ми вважатимемо тепловіддачу під час зіткнення частинок незначною. У нашому випадку ми розглянемо лише два наступні механізми теплопередачі:

Передача тепла дифузійною конвекцією () між газовою фазою та частинками, що відбувається з характерним часовим масштабом і рівнянням якого є:

де - теплопровідність газової фази. Число Нуссельта частинки задається наступним співвідношенням: з Pr число Прандтля, задане: .

Випромінювальний обмін між частинками і стінкою та газом. Випромінювальні переноси між частинками в шарі слідують за наближенням Расселанда через механізм розсіювання. Ми можемо записати ці передачі як пропорційні градієнту температури.

Потім ми можемо написати цей обмін як:

Отже, спрощені рівняння для двох фаз такі:

Для частинок:

Для газової фази:

Замінивши на значення тепловіддачі, отримаємо такі рівняння:

Для частинок:

Для газової фази:

Граничні умови:

Граничні умови, що дозволяють вирішити ці два рівняння, такі:

На рівні останнього стібка в x = δ стібка:

Для газової фази: Tg = Tmaille

Для частинок: Tp = Tmaille

Біля стіни при x = 0:

Для газової фази:

Для частинок:

Дозвіл:

Ми бачимо, що ці два рівняння пов'язані між собою. Для вирішення цієї системи вона повинна бути записана у матричній формі. Спочатку ми спростимо написання системи:

Якщо відзначити: і .

Ми отримуємо таку систему:

Тепер ми можемо записати задачу у матричній формі таким чином: T ’= AT із:

Вирішення цієї задачі зводиться до вирішення: з і D діагональна матриця і P матриця проходу. Щоб знати, чи діагоналізується A, ми повинні обчислити його визначник:

Матриця A має два різні власні значення, які є і. Таким чином, цю матрицю можна діагоналізувати з подібною матрицею D:

Власний вектор, пов’язаний із власним значенням, отримують розв’язуванням: AX = 0. Ми знаходимо як власний вектор вектор:

Власний вектор, пов’язаний із власним значенням, отримують розв’язком: AX = (B-C) X. Ми знаходимо як власний вектор вектор:.

Тому матрицю проходу P можна записати у вигляді:

Розв’язання системи зводиться до вирішення: P -1 T ’’ = DP -1 T, якщо ми позначимо через Y = P -1 T =. Ми можемо записати систему у вигляді: Y ‘’ = DY:

з константами інтегрування K1, K2, K3 та K4, які визначатимуться граничними умовами. Щоб повернутися до виразів для температур, досить написати, що T = PY. Тому ми знаходимо як вираз для температур:

• Для частинок:

Визначення констант інтегрування:

Щоб розрахувати константи інтегрування, потрібно вивести температуру частинок. Його похідна:

Для умови на стінці частинки ми лінеаризуємо цей термін до степеня 4, щоб аналітично знайти константи. Для цього потрібно написати:

з XM координатою точки вгорі прикордонного шару.

Ми припускаємо, що. Тоді можна записати термін випромінювальний потік частинок до стіни в такій приблизній формі:

Написавши обмежене розширення першого порядку в 0, ми отримуємо:

Що означає написання:

Отже, умовою стінки для частинок стає:

У нашому випадку ми вважаємо це

Записавши набір граничних умов за допомогою рівнянь температури, знайдених у попередній частині, ми отримаємо таку систему:

Віднімаючи перше рівняння від другого рівняння, ми знаходимо, що:

Третє рівняння дає K2:

З першого рівняння можна виразити K1 через K4, що дає:

Тоді ми виявляємо, що:

за допомогою і

З цієї величини ми можемо вивести інші константи інтеграції.

Якщо потік дорівнює нулю, тобто умова стінки для частинок стає:, то ми знаходимо такі константи інтегрування:

---