Експоненціальний приріст населення
цілі навчання
Якщо ви пропрацювали цю сторінку, вам слід
- знати, що таке експоненціальне зростання,
- засвоїти математичні принципи експоненціального зростання,
- знати терміни зростання, народжуваності та смертності та вміти співвідносити їх із експоненціальним зростанням,
- імітувати експоненціальне зростання за допомогою стандартної таблиці.
Експоненціальне зростання бактерій
"Залежно від організму та умов культури час генерації окремих клітин може становити близько 15 хвилин (теплолюбні бактерії), кілька годин (наприклад, нітрифікуючі бактерії) або кілька днів".
Джерело: Spectrum Lexicon of Biology, ключове слово "ріст мікробів"
Бактерії виду Кишкова паличка можна ділити кожні 20 хвилин за оптимальних умов. Індивід стає двом через 20 хвилин, чотирьом через 40 хвилин, вісім через годину тощо. Давайте подивимося на графік приросту населення Росії Кишкова паличка за адресою:
Розрахунок приросту популяції кишкової палички для 20 поколінь
Я використовував електронну таблицю для розрахунку розвитку колонії кишкової палички протягом двадцяти поколінь (добрі шість годин) і представляв її графічно. Через добрі шість годин вже є півмільйона клітин, через 20 хвилин - близько 1 мільйона клітин.
Тут ми також бачимо щось дуже типове для експоненціального зростання: спочатку ріст виглядає абсолютно нешкідливим, можна майже говорити про нульовий ріст - що, звичайно, також обумовлено масштабом, який тут використовується. Лише приблизно через 14 або 15 поколінь ви бачите значне зростання, яке потім збільшується дедалі більше.
Експоненціальне зростання природи
Експоненціальний ріст спостерігався не лише у бактерій, фази експоненціального росту спостерігалися також у багатьох вищих організмів (рослин, тварин, людей). Зростання населення людства навіть гіперекспоненціальний, тобто навіть сильніший, ніж просте експоненціальне зростання.
Зростання людини
У 1804 р. На землі було один мільярд людей; у 1927 р. Число подвоїлось до двох мільярдів. Період подвоєння становив 123 роки.
У 1974 році на землі було вже чотири мільярди людей, період подвоєння становив лише 47 років.
На даний момент (17 червня 2018 р.) Проживає 7 480 144 000 людей, наступного року (2019 р.) Кількість, ймовірно, зросте до 8 млрд. Період подвоєння зараз становить 44 роки, що є черговим прискоренням зростання. Але, очевидно, зростання людства наближається до експоненціального зростання, тобто зростання з постійним часом подвоєння. Це заспокоює (увага: сарказм!).
Найбільш сильний приріст населення спостерігається в країнах, що розвиваються, тоді як у більшості промислово розвинутих країн приріст населення стагнує або навіть негативний.
На веб-сайті www.census.gov/popclock ви можете буквально спостерігати за зростанням людства.
Математика експоненціального зростання
Математичне представлення експоненціального зростання досить просте. Постійний час подвоєння залежить від темпу приросту w населення. Швидкість росту складається з двох компонентів: народжуваності g та смертності s. Застосовується наступне: w = g - s. Якщо народжується більше особин, ніж помирає деяка кількість, темпи зростання є позитивними. Якщо за певний проміжок часу вмирає більше особин, ніж народжується, темп приросту є негативним, тобто менше 0. Якщо рівень народжуваності та рівень смертності збалансовані, темп приросту має значення 0, що називається стагнацією населення або нульовим приростом .
Щоб імітувати експоненціальне зростання за допомогою електронної таблиці, вам потрібно диференціальне рівняння. Диференціальне рівняння вказує на те, наскільки популяція збільшується (або зменшується) за певний проміжок часу.
З $ dN $ мається на увазі збільшення чисельності населення, з $ dt $ період, в якому відбувається збільшення. Константа $ k $ визначає, наскільки сильно $ \ frac $ залежить від поточного розміру популяції $ N $.
Моделювання експоненціального зростання за допомогою електронної таблиці (Apple Numbers)
Навчання методу електронних таблиць I
У першій колонці електронної таблиці ми вводимо покоління, тобто 1, 2, 3,. 30. Для цього вже можна використовувати просту формулу. Наприклад, значення комірки A3 обчислюється із значення комірки A2, збільшеної на 1. У комірку A3 вводимо таку формулу:
Потім ми копіюємо цю формулу у всі комірки A4, A5, нижче A3. A31.
У клітинку B2 ми вводимо початковий розмір популяції, тут 100.
У комірку D2 вводимо значення константи k диференціального рівняння, наприклад 0,04.
Потім в комірку B3 записуємо таку формулу:
Ми знову копіюємо цю формулу у всі комірки нижче В3. Числа зараз, мабуть, відображаються з великою кількістю знаків після коми, що не виглядає приємно. Тому ми форматуємо стовпець B так, щоб більше не відображалися десяткові коми. Те, як це працює, повністю залежить від використовуваної електронної таблиці.
Створення діаграми
За допомогою електронної таблиці ви також можете дуже красиво графічно відображати стовпці цифр. Для цього позначте мишкою два стовпці A і B, а потім виберіть відповідну форму відображення. На малюнку 2 вибрано тип відображення "діаграма x/y". Цей тип подання генерує правильний графік математичної функції, який показує значення одного стовпця (тут B) по відношенню до значень іншого стовпця (тут A).
Ви можете завантажити таблицю чисел, перетворену в Excel, тут. Тут ніяк не цінували красу, тож ви можете це зробити.
Завдання 1
Ми хочемо дослідити, наскільки велика бактерія виду Escherichia coli. Лексикон спектру біології дає нам конкретні цифри: «Бактерії кишкової палички - це прямі палички, 1,1–1,5 × 2,0–6,0 мкм (живі)». Для цього завдання ми приймаємо середню довжину 4 мкм і середню ширину 1,3 мкм. Ми хочемо встановити висоту такої бактерії 1,3 мкм.
Для того, щоб мати можливість вирішити проблему, ви також повинні знати, що мається на увазі під 1 мкм. 1 мкм або 1 мікрометр - це тисячна частина міліметра і мільйонна частина метра.
Завдання
Кишкова паличка подвоюється кожні 20 хвилин за ідеальних умов. Припустимо, одна з цих бактерій могла б вільно розмножуватися через стіни та інші перешкоди протягом доби в ідеальних умовах, якою товщиною тоді був би шар бактерій, який покривав би материк Землі? За даними Вікіпедії, площа земної суші становить близько 149,4 млн. Км²
вправа 2
За даними Süddeutscher Zeitung ("Сила великих чисел"), 10 березня 2020 року в Німеччині вірусом корони було заражено 1218 людей. 24 березня вже було 4872 інфікованих, 7 квітня 19488 інфікованих та 21 квітня 77952 інфікованих.
Завдання
Проаналізуйте ці цифри, а потім оцініть, чи це експоненціальне зростання.
Альтернативами експоненціальному зростанню є гіперекспоненціальне зростання та гіпоекспоненціальне. При гіперекспоненціальному зростанні ("гіпер" = більше) період подвоєння постійно скорочується, тоді як при гіпоекспоненціальному зростанні ("гіпо" = менше) періоди подвоєння стають все довшими і довшими. При експоненціальному зростанні періоди подвоєння постійні.
Завдання 3
У книзі з біології є прекрасний приклад реального експоненціального зростання: збільшення популяції коклюша в Техасі. Ось цифри у вигляді таблиці:
| рік | N |
| 1940 рік | 18-го |
| 1945 рік | 17-й |
| 1950 рік | 30-й |
| 1955 рік | 20-го |
| 1960 рік | 31 |
| 1965 рік | 42 |
| 1970 рік | 55 |
| 1975 рік | 48 |
| 1980 рік | 75 |
| 1985 рік | 90 |
| 1990 рік | 145 |
| 1995 рік | 155 |
| 2000 рік | 174 |
Завдання
Проаналізуйте ці цифри, а потім судіть, чи це експоненціальне зростання.
Навчальний матеріал:
Зовнішні посилання:
03.11.2012: Сторінку створено
05.02.2018: сторінку переглянуто
24 березня 2018 р .: Сторінка трохи перероблена.
22.04.2020: Завдання додано на сторінку.