Хвилі, вимушений режим і чистий режим
Всім доброго ранку
В рамках роботи я розв'язую однорідне хвильове рівняння $ \ парциальне_у-с ^ 2 \ часткове_у $ на обмеженій області $] 0,1 [$ з такими граничними умовами:
-вихідний термін $ u (0, t) = A \ sin (\ omega_s t) $
-Однорідний диріхле праворуч $ u (1, t) = 0 $
Початковими умовами є $ u (x, 0) = \ part_t u (x, 0) = $ 0. Ідея полягає в тому, щоб побачити, що дає в цій області постійний вигляд збудження вихідним терміном.
У мене з цього приводу в основному є два запитання.
- Чи вважаєте ви, що КІ добре розміщені? Справа в тому, що в момент $ t = 0 $ рішення коштує 0 і, очевидно, має нульову похідну часу.
- Я бачу в різних резолюціях (тип акорду Мельда з вимушеним режимом у $ \ cos $, а не $ \ sin $, але це не проблема), що рішення пишеться як стояча хвиля, зафіксована на пульсації вимушеного джерела $ \ omega_s $:
$ u (x, t) = \ frac \ sin (k (1-x)) \ cos (\ omega_s t) $ з $ k = \ omega_s/c $.
Я погоджуюся з цією резолюцією щодо розрахунків, і вважаю це цілком природним у ідеї для встановленої дієти. Але я думаю, що для цього потрібно, щоб струна завжди піддавалася такому руху стоячої хвилі, інакше приведення в рух в результаті моєї проблеми постійно генерує зсув фази під час відбиття. І я вважаю, що "ідеальна" усталена дієта тоді недосяжна.
І моя проблема тоді полягає в наступному. Коли я впроваджую це (Matlab), я взагалі не можу це знайти. Я вважаю, що це нестаціонарне рішення, і це не перехідне питання. Код зближується, і рішення навіть протягом тривалого часу - це не стояча хвиля. Цікавим моментом є те, що, дивлячись на ШПФ, я, як і очікувалося, отримую пік у $ \ omega_s $, але також і на власні режими системи $ \ omega_i = i \ pi c $. І код ШПФ також збігається з досить довгим зразком.
Або мій підхід хибний, і попереднє аналітичне рішення є унікальним, або загальне рішення пишеться відповідно до того, що я знаходжу, як сума попередньої формули (я знаходжу те саме для компонента в $ \ omega_s $) і хвилі нерухомі в результаті власних мод (власних значень Лапласіана в обмеженій області), рішень рівняння для однорідних умов Діріхле в 0 і 1 у вигляді типу $ B \ cos (\ omega_i t) \ sin (kx ) $. І залишається знайти хороший $ B $, можливо, у CI, звідси і моє перше запитання, оскільки моє передбачає $ B = 0 $ (що теж не те, що я "хочу" знайти).
На мою думку, джерело постійно генерує збудження системи і щомиті формує ІС до проблеми, що починається у згаданий новий момент, а отже, також забезпечує явище вільного режиму, який точно виявляє власні режими.
Наче примусове збудження «нав'язує ритм», але також збуджує сусідні чисті режими.
Справа в тому, що при розв’язуванні edo або навіть edp математично рішення складається із суми розв’язків даного рівняння плюс (-іх) пов’язаного однорідного рівняння.
Тепер, якщо ми розглянемо правий член $ f $ до рівняння, такий що $ f (0, t) = u (0, t) = A \ sin (\ omega_s t) $ і $ f (x, t ) = $ 0 інакше, і добре, у мене складається враження, якщо я не помиляюся, що попередні міркування працюють, а отже, що мій загальний підхід працює, і що йде в напрямку чисельних результатів. Після так, "корисне" значення $ f $ стосується лише внутрішньої частини домену і там дорівнює нулю, тому рівняння в кінцевому рахунку є однорідним. але добре.
Яка ваша думка?
Відредаговано 4 рази. Остання корекція була зроблена минулого року, і її зробив Pourquoi Pas.
Здравствуйте,
Ви можете бачити, що сума розв’язку рівняння з вашими умовами та розв’язку того самого PDE, але цього разу з нульовою умовою Діріхле дає розв’язок PDE з вашими умовами, раптом, я думаю, рішення має скоріше виглядати так:
$ u (x, t) = \ frac \ sin (k (Lx)) \ sin (\ omega_s t + \ phi_n) + \ sum _ ^ *> \ праворуч) ліворуч [A_n \ cos \ ліворуч (\ frac \ праворуч) + B_n \ sin \ ліворуч (\ frac \ right) \ праворуч]> $
З $ L $ довжина машини та параметри $ \ phi_n $, $ A_n $ та $ B_n $ визначаються відповідно до початкових умов. Враховуючи, що при t = 0 ми маємо $ u (x, t) = 0 $, можна очікувати, що для всіх $ n $, $ \ phi_n = 0 $ розрахунки $ A_n $ і $ B_n $ не надто очевидні (але я думаю, що це можливо), ми, як правило, хочемо зробити щось із рядом Фур'є похідної $ \ frac $ при $ t = 0 $, але оскільки у нас є $ \ cos \ зліва (\ frac \ right ) $, а не $ \ cos \ left (\ frac \ right) $, вам потрібно знайти тонкощі (поняття не маю, вибачте).
Що стосується тлумачення, то воно часто суб’єктивне.
Спасибі за вашу відповідь. Я погоджуюся з вашим загальним формулюванням, але у мене складається враження, що ІС приносить $ A_n $ і $ B_n $ до 0.
У будь-якому випадку, на вашу думку, чи може неперехідний перехідний режим (який не вибухає за амплітудою) тривати нескінченно довго, як той, який я припускав вище? Або це незмінно закінчується, наприкінці дня, вибираючи (або, швидше, прагнучи до) примусовий режим?
Думаю, гармонічні збудження без демпфування залишаться завжди. І якщо вони не спричиняють розбіжностей системи, як показують мої результати, то мені справді дуже цікаво з’ясувати, як розрахувати їх амплітуди, порівняно з такою в $ \ omega_s $.
Відредаговано один раз. Остання корекція була зроблена минулого року, і її зробив Pourquoi Pas.
У вашому рівнянні немає затухаючого члена, тому нормально, що перехідний режим (який відповідає вашим $ A_n $ і $ B_n $) ніколи не вимикається і триває до нескінченності. З цією моделлю існує режим економії енергії за режимами.
Відредаговано один раз. Остання корекція була зроблена минулого року, і її зробив Хехе.
Рішення, наведене в першому повідомленні, хибне, оскільки $ u (x, 0) \ neq 0 $.
Re,
Вибачте! невелика помилка у формулі, оскільки вона була довгою і повторюваною, я зробив багато ctrl + c - ctrl + v і зробив все, щоб виправити (навіть якщо всі ігнорували помилку): $ u (x, t) = \ frac \ sin (k (Lx)) \ sin (\ omega_s t) + \ сума _ ^ *> + \ phi_n \ справа) \ ліворуч [A_n \ cos \ ліворуч (\ frac \ праворуч) + B_n \ sin \ ліво (\ frac \ right) \ right]> $.
Більше того, я погоджуюсь з Хехе щодо збереження $ A_n $ і $ B_n $ (при t> 0, раніше вони всі дорівнюють нулю), але не волію згадувати поняття енергії в цьому контексті. Незалежно від того, робимо ми модель "пружини" або електромагнітної хвилі (ідентичність Пойнтінга), щільність енергії буде задаватися приблизно так, як $ \ frac = \ alpha \ left (\ frac \ right) ^ 2 + \ beta \ left (\ frac \ праворуч) ^ 2 $ (з $ \ frac = c ^ 2 $), дуже складно в цьому випадку говорити про енергію режиму, оскільки є багато перешкод (і там ми не можемо сказати, що перешкоди компенсуються коли ми інтегруємо по всій довжині, саме з тієї причини, яка ускладнює обчислення $ A_n $ і $ B_n $). Ми також помічаємо, що насправді є робота в $ x = 0 $ і що енергія не є постійною, вона явно дорівнює нулю при t = 0, а потім майже завжди позитивна.
@YvesM, так, але він зазначив, що в його посиланні джерелом був косинус, а не синус, просто замініть. У цьому випадку ми бачимо, що $ \ frac $ не дорівнює нулю при t = 0, отже, інші члени, які повинні компенсувати.
Відредаговано один раз. Остання виправлення датується минулим роком і була зроблена Тіті цікавими.
Дійсно, помилка не змінила читабельність рівняння.
Ідея, на яку вона відповідає на запитання, здається цілісною. Зокрема, хтось розповів мені про хід Смирнова, в якому розглядається подібний випадок, з розкладанням проблеми на вільну частину "+" вимушену частину.
Відмінність полягає в тому, що він визначає чіткі CI для вільної частини, тоді як у нашому випадку CI цієї частини "генеруються" збудженням джерела, отже, диференціальна pbm, яка генерує другу по ходу.
Щоб знайти коефіцієнти $ A_n $ і $ B_n $, спочатку я також розпочав з енергозбереження, наприклад з Парсевалем. Але рішення, що не має правильної структури, теорема не застосовується, мені здається. І тоді мені такий підхід здається, в даному випадку, в кращому випадку задовільним для демонстрації збереження енергії. Але занадто складний, щоб пояснити коефіцієнти.
Більше того, щодо "енергій" мені не дуже зручно тлумачити їх. Джерело постійно стимулює поле в обмеженому та непроникному домені. Однак він не постійно "впорскує" "енергію" в систему. Але для джерела в $ n \ omega c $ є резонанс. Чи трактується це як розподіл Дірака? Кінцева маса (отже, тут кінцева енергія), сконцентрована пунктуально (все йде в одному режимі), щоб отримати нескінченний пік, межа, наприклад, гаусова?
І якщо джерело знаходиться в симетричних коливаннях навколо точки рівноваги, то ми можемо уявити, що робота, що виробляється, іноді є позитивною, іноді негативною (двигун, опір) і, отже, іноді генератор віддає енергію, а іноді бере її з системи, щоб зрештою він не додав і не видалив його. Тож звідки «береться» енергія системи, яка з’являється раз і назавжди, а потім зберігається?
Так, я бачу відповідь, яку ви розрахували. Але в цьому випадку нам довелося б розглядати $ f $ як обмеження квадратного сигналу вартістю 1 знову в $ x = 0 $ і відразу 0 на $] 0,1] $? У цьому випадку я думаю, що ми отримуємо коефіцієнти $ f_n $, а отже, загальний зв'язок між форсованим режимом та вільною частиною рішення?
Чи не відсутня $ ^ 2 $ на $ \ omega $ у знаменнику?
Відредаговано один раз. Остання корекція була зроблена минулого року, і її зробив Pourquoi Pas.
Здравствуйте,
Ой! це божевільна кількість тупостей, які я роблю, у великій формулі ми можемо встановити $ A_n $ на 0, граничні умови не дозволяють косинусних рішень.
Я не розумію, режими обов'язково ортогональні. Точніше, режими є ненульовими рішеннями
$$ -u '' = \ lambda u, \ quad u (0) = u (L) = 0 $$
Потім ми знаходимо, що $ \ lambda = n ^ 2 \ pi ^ 2/L ^ 2 $, $ n \ geq 1 $ ціле число і що
$$ u_n (x) = \ sqrt \ sin \ left (\ frac \ right) $$
Ми тоді маємо
$$ \ int_0 ^ L u_m u_n = \ begin 0 & \ text \\ 1 & \ text \ end $$
Відредаговано один раз. Остання корекція була зроблена минулого року, і її зробив Хехе.
Re,
Вибачте, справді, я щойно підрахував, зробив трохи лайна (я почав з уявлення і був впевнений, що перехресний термін буде ненульовим для двох непарних термінів), жодного перехресного терміну для чистих режимів, вибачте.
Ну, оскільки застосовується теорема Парсеваля, ми можемо спробувати обчислити формальне рішення.
Якщо я цього разу не скажу занадто багато фігней, намагаюся отримати $ \ forall x \ у [0, L]: u (x, 0) = 0 \ text < et >\ frac (x, 0) = 0 $, це повинно бути не надто далеко від цього:
P.S: Тим не менше, залишається термін енергії, що перетинається між режимом "Мельда" і всіма власними режимами, і саме він змінюється.
re-PS: Думаю, я спочатку зіпсував останній розрахунок, я тупо зробив деяку інтеграцію на [0, L], напевно було б менш дурним зробити деякі інтеграції на [0,2L]. Раптом константи помиляються.
Редаговано двічі. Остання виправлення датується минулим роком і була зроблена Тіті цікавими.
Я бачив подібний підхід на форумі, де ми пропонуємо розділити рішення на $ u_1 $ (Melde) + $ u_2 $ (безкоштовно). Сума двох підрішень добре поважає CI та CL. І вони розбиті так:
-Ніякий CI, CL не однорідний дає рішення $ u_1 $ (тому перший член правої частини у вашій формулі)
-CL однорідний для іншого рішення, зберігаючи CI $ u_2 (x, 0) = 0 $ і вимагаючи $ \ частичного_t u_2 (x, 0) = - \ часткового_t u_1 (x, 0) $, який є обчислюваним. І там ми відновлюємо вашу праву частину шляхом розділення змінних або proj на основі Фур'є, і коефіцієнти $ A_n $ і $ B_n $ обчислюються з розробки Фур'є модифікованого CI.
Як сказав Хехе, вільні режими за побудовою ортогональні. Але ця сім'я не обов'язково незалежна від примусового режиму.
Крім того, я погоджуюся з вами щодо тлумачень. Фізично це не має сенсу, це розкладання. Це не "онтологічно" сума повних стоячих хвиль, які існують самі по собі. Це справді математичний інструмент, який представляє, як будується проблема. Але це все-таки дуже корисний підхід!
В іншому випадку для Parseval, на мою думку, діє лише на $ u_2 $. Ні?
Відредаговано один раз. Остання корекція була зроблена минулого року, і її зробив Pourquoi Pas.