Коли математика полягає не в підрахунку
Один коментар до відповіді, яку я розмістив, стверджував, що "математика не завжди полягає в підрахунку".
Я думав, що якщо є одиниця вимірювання (сантиметри/міліграми/світлові роки тощо), то це щось.
Винятком буде, якщо ви опишете щось у математиці/arthimetec як поняття 2 + 2 = 4. Це визначається без потреби в одиницях, а лише робить заяву про себе.
Тож моє запитання: коли математика не полягає в тому, щоб щось підрахувати?
РЕДАГУВАТИ ×: Щоб зрозуміти, ми маємо дискретні дані, такі як кількість людей у кімнаті, або постійні дані, такі як кількість миль до найближчого кар’єру (вимірювання, в ідеалі дуже мале в цьому випадку ).
Я маю намір з цим запитанням полягає в тому, що обидва "підраховують" - дискретні дані є надійними, а безперервні дані, я б сказав, все ще "враховують" у тому, що ви прораховуєте кількість миль (і т.д.).
Тож я не кажу про різницю між дискретними та безперервними даними. Я запитую більше, якщо/коли математика не стосується чогось у (або) "реальному" світі. Подумавши, думаю, я маю на увазі "коли одиниць немає?"
E = mC ^ 2 має одиниці або тип одиниці:
E = енергія = вати/калорії/що-небудь
C = швидкість світла (миль/год тощо)
Отже, щоб дійти до цього за допомогою якоїсь, мабуть, складної математики, коли-небудь був момент, коли формула не мала одиниці якоїсь.?
7 відповідей
Найкращий приклад математики, що не включає цифри, походить з філософії. Пропозиційна логіка - це математика. Як це по-справжньому про цифри?
Але сучасна математика складається в основному з речей, які не є числовими, а складаються з наборів правил.
Як крайній випадок розглянемо топологію. Найпростіша форма опису топології - теорія графів. Ця дисципліна здебільшого стосується складних зв’язків між речами, які можуть бути і все ще мають відносно прості описи. Звичайне подання графіка - це набір точок, які можна переміщати довільно, і ліній, які зв’язують деякі з них між собою.
Ранній базовий результат визначає умови, які нам потрібно поставити на діаграмі, щоб намалювати їх у площині. Геометрія бере участь абстрактно, але без вимірювань. Отже, це досить чистий приклад. Єдине число або вимірювання, що мають значення для постановки задачі, - це "два", і то лише як розмірність літака.
Звичайно, графіки мають вузли, і ви можете їх порахувати. Описи часто містять цифри, а найосновніші стосуються таких речей, як "намалювати три крапки зліва та дві праворуч і з’єднати кожну точку з одного боку з усіма іншими". Але навіть тут арифметика використовується лише як частина мови, а не як головна діюча особа. Загалом, теоретичні графічні розрахунки рідко бувають числовими - вони стосуються маніпуляцій із символами, що представляють вузли та ребра. (Таким чином, це свого роду пропозиційна логіка, обидві сторони загального поля "символічної та комбінаторної логіки").
Важливими результатами є, наприклад, чи ми можемо знайти екземпляри графа з компактним описом в іншій мережі з компактним непов’язаним описом. Програми стосуються таких речей, як комп’ютерні мережі або обслуговування телефонної лінії. Продукти - це не цифри, а послідовності операцій, такі як комп’ютерна програма.
Цифри зазвичай вводяться лише після вирішення задачі, для порівняння ефективності різних рішень.
Як фахівець з математики, це завдало мені великого болю, коли моя сім’я думала, що я тільки навчаюсь робити кращі результати. добре .
Загалом, чиста математика (тобто виключення прикладної математики) може розглядатися як три основні галузі (хоча це, мабуть, спрощення):
- Алгебра - як використовувати операції над наборами елементів для об'єднання двох елементів в інший елемент (потенційно різні, потенційно ні)
- Геометрія - відноситься до відстані між точками та речами, які з неї випливають
- Основи - логіка і теорія множин, які служать основою для решти математики.
Звичайно, підрахунок використовується для прикладів у всіх галузях, але в самій математиці він зазвичай працює в більш абстрактних умовах. Тобто, ми часто не працюємо з числами, арифметикою чи прямим підрахунком, а, навпаки, розглядаємо речі, які дотримуються однакових правил та мотивів щодо речей, у цих абстрактних рамках.
Наприклад, візьмемо набір функцій з певними технічними обмеженнями (наприклад, вимірюваний, інтегрований або диференційований. Будь-який набір функцій, що добре виховуються). Ви можете визначити операції над ними, щоб поєднати їх різними способами (алгебра). Ви можете визначити значення, яке встановлює відстань до елементів цього набору (геометрія). Але ідея "рахувати" в цьому наборі дуже неприродна.
Геометрія - це найпростіша математика без чисел. Використовуйте лише ручку, лінійку (не підлягає оподаткуванню, що використовується для прямих ліній) та циркуль.
Я думаю, що найкращим способом є порівняння математики з природною мовою, і рівнозначне запитання: "Коли мова не про правопис?".
Підрахунок - це орфографія, оскільки алгебра - це складання речень як доказів в есе.
Ви знайдете відповідь там.
Існують дуже складні способи "підрахунку", коли йдеться про нескінченності, комбінаторику тощо, але більшість питань, які вирішує математика, обертаються навколо кінцевого набору основних правил, більшість з яких не передбачає "міри", але швидше короткий виклад, але (сподіваємось) інтуїтивна концепція. Вони називаються аксіомами. Ви сказали б, що держава "два рядки ніколи не зустрічаються" є формою "міри"? Однак це математичне твердження, і ми визначаємо такі прямі як паралельні (або ортогональні в інших контекстах).
Ви хочете сказати, що його доказ, або умови, щоб це сталося в декартовій геометрії/алгебрі, це якийсь підрахунок? Відповідь, мабуть, ні.
Всі наведені вами приклади - це лише математика, що застосовується у фізиці, а в реальному світі математика має справу лише з реальним світом і здебільшого не дбає про одиниці.
Наприклад, ідея про те, що існує нескінченно багато прикладів первинного використання (унікальних чисел), логіки та їх властивостей, щоб додати новий факт до бази знань, яка побудована на цих аксіомах.
Отже, щоб відповісти на ваше запитання, дуже мало математики насправді стосується "підрахунку".
Будь-який алгоритм, який можна обчислити, можна змоделювати як підрахунок. Це багато математики.
Загальна ідея підрахунку була математично оформлена за допомогою множин, які називаються порядковими числами. Більшість (якщо не всі) математичних об’єктів можна моделювати як множини, і ми знаємо, що будь-яка добре впорядкована множина ізоморфна (еквівалентна) порядковому номеру. (Тут добре впорядковане означає "має принаймні один предмет" - тобто є з чого почати підрахунок.) Отже, якщо ви хочете втратити з виду підрахунок, вам доведеться мати справу з наборами, які не є впорядкованими.
Наразі ми виключили математику, яка обчислюється і може бути змодельована як впорядкований набір.
В інших обмеженнях немає сумнівів, але зараз все спадає на думку.
Якщо ви належите до школи, яка наполягає на тому, щоб вся математика була комп'ютеризована, то, я думаю, ви все виключили.
РЕДАГУВАТИ Існує ряд коментарів до інших відповідей, які свідчать про певне заплутаність щодо природи підрахунку. Особлива плутанина стосується відомої математичної гіпотези, яка називається гіпотеза про континуум.
Як я вже згадував у своїй оригінальній відповіді (вище), Кантор формалізував концепцію підрахунку шляхом визначення порядкових номерів. Гіпотеза континууму запитує, якою є основна сила континууму. Усі основні риси визначаються як певні типи порядкових номерів. Значимість континууму задається потужністю впорядкованого набору [0,1] (= набір дійсних чисел від 0 до 1). Отже, гіпотеза континууму абсолютно стосується підрахунку. Він дивується, скільки замовлень я маю порахувати, щоб порахувати потужність континууму.
Ще однією плутаниною є твердження, що модель нічого не говорить про природу моделі. Очевидно, що все, що можна моделювати як підрахунок, є математично ізоморфним (еквівалентом) підрахунку. Це неможливо зрозуміти.