Monge AFH-Magazine

Фахівці це знають: робота одного із засновників політехніки Еколе та переконаного революціонера Гаспарда Монжа створила глибокі зв'язки між різними галузями математики, функціонального аналізу, геометрії, теорією ймовірностей та рівняннями часткових похідних. Вони мали великий вплив у ХХ столітті, про що свідчать, серед іншого, Нобелівська премія з економіки Леоніда Канторовича та нещодавня медаль Філдса молодого математика Седріка Віллані. Ця сторінка пропонує перспективу та деякі посилання на цю роботу. Гарне читання!

Гаспард Мондж

Гаспар Монж (9 травня 1746 р. [Бон] - 28 липня 1818 р. [Париж]) був надзвичайно блискучим геодезистом, якому ми зобов'язані створенням політехнічної школи і який також відомий своєю роллю під час Революції. Гаспард Мондж народився 9 травня 1746 р. У місті Бон, де його батько був купцем. Він чудово навчався у ораторійців (членів певного духовного товариства), потім у Ліоні. Автор карти свого рідного міста, його помітили співробітники інженерної школи Мезьєра, де викладав математик Боссут. Мондж мав занадто скромне походження, щоб його прийняли учнем у цю школу, але він працював дизайнером. Його талант геодезиста швидко висловився, і Мондж винайшов оригінальний та елегантний графічний метод, щоб визначити план укріплення, "неприступний" ворогами, незалежно від їхнього становища.

Його визнаний математичний геній, Мондж викладав математику в Мезьєрі з 1766 року, залишивши Боссут. Він багато вкладе у це завдання, майже 20 років. Він продовжив свої дослідження, представивши кілька дисертацій в Академії наук, що стосуються диференціальної геометрії, описової геометрії, варіаційного числення, комбінаторики. У 1777 р. Він одружився з Кетрін Хуарт, яка володіла кузнею, і через неї зацікавився металургією. Це одна з характерних рис Монжа: він ніколи не обмежувався так званою «академічною» математикою, завжди цікавлячись практичною, технічною і навіть художньою стороною справи.

Після того, як його обрали помічником геодезиста в Академії наук, а потім отримавши посаду екзаменатора у Військово-морській школі, Мондж повинен був відмовитись від викладання в Мезьєрі в 1784. У той час він менше цікавився математикою, брав участь у роботі з хіміки навколо Лавуазьє, вивчає метеорологічні явища ...

У 1796 році він відправився в місію до Італії (насправді мова йшла про виявлення культурних багатств, які останні завоювання дозволили повернути до Франції), і там він зустрів Наполеона Бонапарта, якому присвятив безмежне захоплення. і дружби. У 1798 році він приєднався до наполеонівських експедицій в Єгипті (разом з математиками Фур'є та Малусом), коли вони мали успіх (Мальта, Олександрія). Але після знищення наполеонівського флоту шляхом Нельсона в битві за протоку Нілу в серпні 1798 року Наполеон і його армія були обмежені країнами, які вони щойно завоювали. Мондж скористався можливістю створити Єгипетський інститут у Каїрі та завершив свій трактат Застосування аналізу до геометрії.

Саме Гаспард Мондж у листі до Бонапарта визначив великий науковий проект Єгипетської кампанії. 500 цивільних осіб, у тому числі 167 вчених та експертів (17 інженерів-будівельників, гірничих інженерів, 21 математик, 3 астрономи, 13 натуралістів, 4 архітекторів, 10 письменників, 22 друкарі тощо) та 8 креслярів не супроводжують його для завоювання та розшифровки земля фараонів.

Він супроводжує Наполеона під час його небезпечного повернення до Парижа в 1799 році. Коли останній бере на себе повноваження, Мондж забуває його республіканські бачення і сліпо служить імператору-диктатору. Натомість він був призначений сенатором, великим офіцером Почесного легіону графом Пелуз. Його здоров’я поступово занепадало і змусило припинити вчення. Коли поразки Наполеона послідували одна за одною у Ватерлоо в 1815 році, Мондж безпомічно спостерігав, як імператор падає, на деякий час тікаючи з Парижа. Незабаром після Реставрації його жорстоко вигнали з Інституту, де його замінив рояліст Коші. Тоді Мондж навряд чи займався будь-якою діяльністю, його психічне та інтелектуальне здоров'я більше не дозволяло йому. Помер 28 липня 1818 року.

З нагоди 200-річчя Революції, в 1789 році, останки Монжа були передані Пантеону.

Описова геометрія

Для когось найбільшим досягненням Гаспарда Монжа є, мабуть, теорія нарисної геометрії, яка довгий час залишається опорою наукової підготовки інженерів; французька армія наприкінці режиму Ансієна настільки добре визнала величезний потенціал цієї теорії, що її, як кажуть, класифікували як "оборонну таємницю". Нам така точка зору здається надмірною, але досконалість дощок, виготовлених поколіннями студентів, які вивчають свою професію, дуже естетична.

Оптимізація транспорту

Саме в 1781 році Мондж сформулював оптимальну транспортну проблему, більше схожу на інженера, ніж на математика чи економіста. Транспортуваними ресурсами є, наприклад, будівельні матеріали, видобуті з шахти, які будуть використані для певної споруди. Щоб використати формулювання Монжа, зразкову чіткість і точність:

Коли нам доводиться перевозити грунт з одного місця в інше, прийнято давати назву виїмки об’єму ґрунту, що транспортується, а назву засипки - простору, який вони повинні займати після цього.

Ціна транспортування молекули є, за інших рівних умов, пропорційна її вазі та простору, який вона призначена для подорожі, і, отже, ціна всього транспорту повинна бути пропорційною сумі продуктів молекул з кожного помноженого на пройдений простір випливає, що зрізу і засипці надається форма і положення, не має значення, що така і така молекула зрізу транспортується в те чи інше місце засипки, але що є певний розподіл у виготовленні молекул від першого до другого, згідно з яким сума цих продуктів буде найменш можливою, а вартість всього транспорту буде мінімальною. Це рішення цього питання, яке я пропоную дати тут.

У своїх п'яти читаннях з теорії транспорту Монжа-Канторовича Роберт Дж. Макканн і Нестор Гіллен згадують сфери застосування цієї теорії:
Теорія Монжа-Канторовича знайшла широке застосування
з чистої та прикладної математики. З чистої сторони вони включають зв’язки
до нерівностей [92] [131] [94] [32] [90] [52], геометрії (включаючи секційні [85] [73], Річчі
[88] [87] [127] [99] і середня [75] кривизна), нелінійні часткові диференціальні рівняння [14]
[18] [16] [135] [89] та динамічні системи (слабка теорія КАМ [9]; нелінійні дивізії
[109]; градієнт
ows [5]). З боку, що застосовується, сюди належать додатки до зору (зображення
реєстрація та морфінг [64]), економіка (збалансування пропозиції з попитом
[42] [27], структура міст [23], максимізація вигод [118] [22] [49] або соціального забезпечення
[49]), фізика [40] [129] [95] [51], техніка (оптимальна форма/конструкція матеріалу [12] [13],
повторно
конструкція антенної антени [63] [140] [141], аеродинамічний опір [113]), атмосфера і
динаміка океану (напівгеострофічна теорія [36] [37] [35]), біологія (зрошення [10], аркуш
зростання [143]), а статистика [115]. Див. [138] [139] для подальших вказівок, посилань та
обговорення.

Зв'язок із ізопериметрією

Чи варто дивуватися тому, що нещодавно і не так давно ми виявили низку зв'язків між ізопериметричними нерівностями в евклідових чи більш загальних просторах та проблемою оптимального транспорту? Геометрична інтуїція спокушає нас відповісти негативно на це питання.

Візьмемо для прикладу дуже потужну техніку, відому як симетризація, яку швейцарський геометр та винахідник синтетичної геометрії Якоб Штайнер розробив для вирішення проблеми ізопериметрії. Цю симетризацію можна розглядати як певний транспортний план.

Також добре відомо, що нерівність Брунна-Мінковського дозволяє знайти нерівність
Евклідова ізопериметрична. І навпаки, саме ідея зчеплення або транспортування Монжа лежить в основі геометричних доказів теореми Брун-Мінковського, що є одним із шляхів встановлення зв'язку між роботою Монжа та область ізопериметричних нерівностей. Френк Барт пояснює, як ми перейшли від нерівностей Брун-Мінкоскві (1887) до більш гнучких функціональних нерівностей, таких як нерівність Прекопа-Лейндлера, яку можна розглядати як взаємну форму більш поширеної нерівності Голдера.
Цей документ також вказує на те, як оптимальний транспорт Монжа, адаптований міркуваннями Янна Бреньє, буде "лінеаризувати" нерівність Брунна Мінковського, зменшуючи цю нерівність до подібної та легко доводимої нерівності на матрицях.
Крім того, рівняння тепла можна використовувати для складання транспортного плану! Дифузія буде гомогенізувати значення функцій у всьому просторі при збереженні маси, і ми показуємо - результат К. Борелла - нерівність Прекопи - Лейндлера.

У цьому семінарі з геометрії та спектральної теорії з Гренобльського університету Даріо Кордеро-Ераскін представляє взаємодію між переносом мір, нерівностями Соболєва та нерівностями Брун-Мінковського. Зверніть увагу, що операції з опуклою геометрією, такі як суми Мінковського, реалізовані в програмному забезпеченні геометрії, такому як CGAL. Поняття змішаного обсягу узагальнює, щоб задати поняття детермінанта матриці, яка є обсягом, що генерується багатогранником векторів стовпців. Визначення змішаного обсягу серії опуклих множин таке
Розглянемо функцію
$ латекс f (\ lambda_1, \ ldots, \ lambda_r) = \ mathrm_n (\ lambda_1 K_1 + \ cdots + \ lambda_r K_r) \ $
Зрозуміло, що це однорідний поліном, і тому ми маємо природне розкладання, яке виявляє один із опуклих атрибутів, змішані обсяги, що є коефіцієнтами розширення на "масштабні коефіцієнти" у такій формулі:
$ латекс f (\ lambda_1, \ ldots, \ lambda_n) = \ sum_ ^ r V (K_, \ ldots, K_) \ lambda_ \ cdots \ lambda_ $

Рівняння Монжа-Ампера

$ латекс L [u] = \ det D ^ 2 u - f (\ mathbf, u, D ^ 2u) = 0 \ qquad \ qquad (1) $

Рівняння Монжа - Ампера часто зустрічається в римановій або конформній геометрії. Найпростіший приклад - це проблема пошуку поверхні, яку прагнуть призначити, пункт за точкою, гауссову кривизну. Іншими словами, ми даємо собі місцеву інформацію про геометрію, і ми хочемо знайти форму поверхні. Гіперповерхню K кривизни Гауса задовольняє EMA:

$ латекс \ det D ^ 2 u - K (\ mathbf) (1+ | Du | ^ 2) ^ = 0 $

Цей приклад, або проблема Мінковського, детально описаний у блозі Нестора Гіллена та Антоніо Ахе .
EMA пов'язана з оптимальною транспортною проблемою Монжа-Канторовича і з'являється, коли функціоналом витрат є евклідова відстань.

Наступні посилання показують деякі шляхи дискретизації та цифрового дозволу EMA:

імовірнісна інтерпретація метрик Калера-Ейнштейна
http://arxiv.org/pdf/1011.3976

Рівняння Монжа-Канторовича

Від Лени до реєстрації медичних кліше

Уніфікація,
проблема Монжа-Канторовича
та медична візуалізація
Sigurd Angenent & Steve Haker & Ron Kikinis &
Аллен Танненбаум
12 жовтня 2005 р
http://www.math.wisc.edu/

Ілюстрація Гловінського фортину
http://books.google.com/books?id=s6_5EeBjQnkC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false

Леонід Канторович

Леонід Віталійович Канторович (Леонід Вита́льевич Канторо́вич) (19 січня 1912, Санкт-Петербург - 7 квітня 1986, Москва) - радянський математик та економіст, відомий своєю теорією та розробкою методів, що стосуються проблеми оптимального розподілу ресурсів.
Він єдиний радянський дослідник, який отримав Нобелівську премію з економіки (у 1975 р.).

У 22 роки Канторовича, дуже обдарованого математикою, призначили професором Ленінградського університету. Він захистив докторську дисертацію в 19301 р. І працював над усіма видами проблем у прикладній математиці: Новим наближеним методом конформного перетворення та Новим варіаційним методом, який розвивав ідеї Галеркіна та Еріха Треффца датується цим періодом2. Цей молодий дослідник також працював на радянський уряд, який доручив йому в 1938 році оптимізувати промислове виробництво фанери.

В нагороду за його подвиги та мужність влада нагородила Канторовича орденом Вітчизняної війни, а він нагороджений медаллю «За оборону Ленінграда».

Канторович також працював над проблемами безперервної оптимізації, отримуючи умову збіжності методу Ньютона, теореми Канторовича та приватного випадку нерівності Коші-Шварца, відомого як "нерівність Канторовича".
Лише після сталінської епохи були опубліковані теорії Канторовича. У період з 1938 по 1948 рік він був майже двічі ув'язнений, і його врятували лише за участь у радянській атомній програмі. Його теорії знайдуть застосування в лібералізації радянської економіки. Одним із внесків Канторовича є започаткування підходу, що враховує граничну продуктивність інвестицій, з метою вирішення труднощів, пов'язаних з розподілом ресурсів у соціалістичній економіці.
У 1971 році Канторович очолив спеціально створений для нього в Москві науково-дослідний центр з математичної економіки. Через чотири роки він поділиться Нобелівською премією з Тьялінгом Купмансом, визнаючи його "внесок у теорію розподілу ресурсів". "

У 1939 році Канторович винайшов динамічне програмування, а також теорію повних мереж Дедекінда або K-просторів. Він відкриває "своєрідне узагальнене число" і пропонує нові моделі реальної осі.
Він зіграв виняткову роль у злитті математики та економіки. Ізраїль Гельфанд бачив лише Джона фон Неймана та Андрія Колмогорова, які конкурували з Леонідом Канторовичем серед його сучасників, які досягли синтезу між математичною культурою та гуманізмом.
Наділений таким, яким він є, для Канторовича люди мають перевагу над знаннями. Незважаючи на те, що він опублікував численні наукові статті, він також не прагнув навчити себе мистецтву танцю?

Седрік Віллані

ОПТИМАЛЬНИЙ ТРАНСПОРТ І КРИВИ РІЧЧІ
http://math.univ-lyon1.fr/

villani/Cedrif/P10.Grenoble.pdf
Оптимальний транспорт вимірювань:
реконструкція для дуже старого
проблема

Пластикові запитання

Автор цієї сторінки вважає, що ми можемо встановити цікавий зв’язок між проблемою Монжа та механічними проблемами, пов’язаними з пластичними матеріалами, що характеризуються тим, що швидкість їх деформації стає дуже високою після досягнення зусиль. Достатня (порогове обмеження).

На наступних малюнках показані поверхні постійного нахилу. Ми можемо наблизити їх до пошуку силуетів або медіальної осі шляхом "скорочення межі". Більш чітко, якщо ми розпалюємо вогонь у момент часу 0 на краю об'єму і вогонь поширюється з постійною швидкістю, передня частина обпаленої частини спочатку намалює корону, а потім перетинається в точках, рівновіддалених від більш ніж однієї точки кордон.

Чи можемо ми виділити це посилання? Качанов обговорює у своєму "Трактаті" про основи теорії пластичності кручення пластикових валів і показує, що ми справді дійшли до ЕМА.

Ми не будемо надто здивовані, побачивши, що ми можемо отримати рішення ЕМК як стаціонарних точок динамічної системи. Цей метод відповідає параболічній регуляризації - або тимчасовій релаксації - нелінійного рівняння, що розв'язується (ЕМК).

Теорія Монжа та ланцюги Маркова

Саме Волганг Доеблін в 1938 р. Запровадив транспортний метод при вивченні ланцюгів Маркова (викрити теорію простих ланцюгів Маркоффа в кінцевій кількості станів). Теорія М.К. представлена у цьому дослідженні у формі "муфт", які є технічним інструментом, винайденим Доебліном для аналізу збіжності та ергодичності ланцюгів.

Ви можете проконсультуватися з цим курсом в Чиказькому університеті для простого підходу до цих концепцій. Книга Марселя Барбута про нерівності дає гарний вступ до явища вимірювання концентрації (Леві, Леві-Громов та ін.)