Обертання навколо фіксованої осі - онлайн-курси

На вас чекають більше навчальних відео та численні матеріали:
Повний пакет для студентів технічного факультету

Відео завантажується .

Якщо відео не з’явиться через деякий час:

Посібник для перегляду відео

• Відео: Обертання навколо нерухомої осі
• Кутова швидкість
• Кутове прискорення
• швидкість
• прискорення
• Резюме
• Приклад: Обертання навколо нерухомої осі

У цьому розділі спочатку розглядається обертання твердого тіла навколо нерухомої осі. Наступний кліп повинен служити ілюстрацією. Свердло бурового преса тут обертається:

Відео: Обертання навколо нерухомої осі

Відео завантажується .

Якщо відео не з’явиться через деякий час:

Посібник для перегляду відео

Якщо тверде тіло обертається навколо нерухомої осі, як на кліпсі вище [незначним дисбалансом свердла нехтують], будь-яка точка $ P $ в тілі рухається по круговій траєкторії.

Якщо тверде тіло обертається навколо фіксованої осі обертання, всі точки твердого тіла рухаються по круговому шляху. Колові шляхи всіх тіл перпендикулярні осі обертання. Дальня балка $ r $ являє собою зв’язок між точкою $ P $ і точкою $ 0 $ на осі обертання.Довгі балки всіх точок кузова одночасно охоплюють однаковий кут повороту $ \ varphi $. Це означає, що кутова швидкість $ \ omega = \ frac $ (виведення кута відносно часу) і кутові прискорення $ \ alpha = \ frac = \ frac $ (виведення кутової швидкості відносно часу) однакові для всіх точок на тілі. Тому достатньо розглянути одну точку на твердому тілі та визначити кутові швидкості та кутові прискорення цієї однієї точки, яка потім представляє все тверде тіло. Тому рівняння для кінематики точки маси можна використовувати для особливого випадку кругового руху (див. Розділ Особливий випадок: кругового руху).

Кутова швидкість

Позиція $ r $ в момент $ t $ задається кутом $ \ varphi $ між фіксованою опорною лінією та $ r $. Зміна кута визначається $ d \ varphi $. Оскільки обертання відбувається навколо нерухомої осі, напрямок зміни кута завжди знаходиться вздовж нерухомої осі. Зміна кута через час $ t $ також відома як кутова швидкість:

метод

Кутове прискорення

Зміна кутової швидкості з часом називається кутовим прискоренням $ \ alpha $:

метод

Напрямок $ \ alpha $ залежить від того, збільшується чи зменшується кутова швидкість. Зі збільшенням кутової швидкості напрямок $ \ alpha $ збігається з напрямком $ \ omega $ (позитивне кутове прискорення), при зменшенні кутової швидкості напрямок $ \ alpha $ протилежний напрямку $ \ omega $ (негативне кутове прискорення).

Усунувши $ dt $ з наведених вище рівнянь, додавши $ d \ varphi $, ми отримаємо диференціальну залежність між кутовим прискоренням і кутовою швидкістю:

Вставка $ \ omega = \ frac $:

Множення на $ d \ varphi $:

метод

$ \ alpha \; d \ varphi = \ omega \; д \ омега $

швидкість

Якщо задано кутову швидкість і кутове прискорення (однакові для всіх точок), можна визначити швидкості та прискорення окремих точок. Вони вже не однакові, оскільки точки, що знаходяться далі від осі обертання, мають вищу швидкість і, отже, також прискорення, ніж точки, розташовані ближче до осі обертання.

Вектор швидкості для точки $ P $ є результатом:

метод

Швидкість вектор

Скалярний компонент:

Потім загальну швидкість як скаляр можна визначити наступним чином:

метод

Ви можете чітко помітити, що швидкість кожної точки відрізняється через $ r $. Точки, які знаходяться ближче до осі обертання, мають меншу швидкість.

прискорення

метод

Вектор прискорення

Скалярні компоненти:

Радіальне прискорення $ a_r = - r \ omega ^ 2 $ (перпендикулярно круговому шляху)

Колове прискорення $ a_ = r \ dot = r \; \ alpha $ (дотична до кругового шляху)

Таким чином, весь прискорення як скаляр можна розрахувати як:

метод

Якщо кутова швидкість $ \ omega $ постійна, похідна від неї дає значення нуль. Тоді окружне прискорення дорівнює нулю. Це означає, що змінюється лише напрямок руху, швидкість залишається незмінною.

метод

$ a = a_r $ Прискорення при постійній кутовій швидкості

Резюме

• Усі точки тіла, які обертаються навколо нерухомої осі обертання, описують кругові шляхи.
• Якщо відомі кутова швидкість і кутове прискорення, можна визначити швидкість і прискорення кожної точки на тілі. Важливо: Кутове прискорення та кутова швидкість однакові для всіх точок при обертанні навколо фіксованої осі обертання. Однак швидкість і прискорення не є, оскільки точки, віддалені від осі обертання, мають вищу швидкість, ніж точки, близькі до осі обертання.

Приклад: Обертання навколо нерухомої осі

приклад

На графіку вище диск $ S $, підключений до двигуна, починає обертатися з положення спокою з постійним кутовим прискоренням $ \ alpha_S = 2 рад/с ^ 2 $. Ремінь призводить до повороту нижнього колеса $ R $. Визначте величину швидкості та величину прискорення для точки $ P $ на колесі $ R $ після того, як колесо $ R $ обернеться один раз. Нерозтяжний ремінець не повинен ковзати, а міцно прилипати. Застосовується наступне:

$ r_S = 0,25 м $, $ r_R = 0,55 м $.

Кажуть, що колесо $ R $ повернулось один раз. Одна революція має $ 360 ° $ або $ 2 \ pi \; рад $. Це означає, що колесо $ R $ має кут:

$ \ varphi_R = 360 ° $. bwz. у радіанах: $ \ varphi_R = 2 \ pi \; рад $

Пояс не підходить і не ковзає. Це означає, що від шківа $ S $ ременя завжди розмотується така ж довжина, як від колеса $ R $. Довжину ременя можна визначити за формулою довжини дуги, оскільки і колесо, і шків представляють коло, а ремінь обмотаний навколо обох. Довжина дуги визначається:

Зауважте

$ L = r \ cdot \ varphi $ (у радіанах)

Правило полягає в тому, що довжина ременя, який розмотується від шківа та колеса, завжди однакова:

$ L = r_R \ cdot \ varphi_R = r_S \ cdot \ varphi_S $ (у радіанах)

Обидва рівняння тепер можна вирішити для $ \ varphi_S $ та вставити значення:

Два наведені вище кути однакові, лише один раз в радіанах і один раз у градусах. Це означає, що якщо колесо $ R $ обертається один раз (= 360 °), то диск $ S $ обертається в 2,2 рази (= 792 °/360 ° = 2,2).

Далі визначається кутове прискорення диска $ S $. Прискорення є постійним $ \ alpha_S = \ dot_S = const $ є (див. Завдання) і зазвичай визначається:

Однак залежності від часу не існує, саме тому використовується такий зв’язок (див. Текст вище):

$ \ alpha \; d \ varphi = \ omega \; д \ омега $

Оскільки кутове прискорення $ \ alpha_S $ є постійним, після інтеграції застосовується наступне:

$ \ alpha_S (\ varphi_S - \ varphi_) = \ frac \ omega_S ^ 2 - \ frac \ omega_ $

Обертання з положення відпочинку означає $ \ omega_0 = 0 $ і $ \ varphi_0 = 0 $:

$ \ alpha_S \ cdot \ varphi_S = \ frac \ omega_S ^ 2 $

Вирішити для $ \ omega_S $:

Вставка значень:

метод

Усі точки на диску $ S $ обертаються з однаковою кутовою швидкістю $ \ omega_S = 7.44 \ frac $. Однак зараз слід визначити швидкість точки $ P $ на колесі $ R $. Тут кутова швидкість, звичайно, інша, оскільки колесо набагато більше. Однак існує зв'язок між рухом диска $ S $ і колесом $ R $. Усі точки на поясі мають однакову швидкість $ v $ і однакове тангенціальне прискорення $ a_ $. Не всі точки на шківі $ S $ або колесі $ R $ мають однакову швидкість (або прискорення), лише точки на ремені (тобто всі зовнішні точки). До цих точок також належить точка $ P $, яка розташована на зовнішньому краю і, отже, має однакову швидкість і таке ж дотичне прискорення, як і всі інші точки на поясі. Зазвичай швидкість може бути визначена:

$ v = \ omega \ cdot r $

Оскільки всі точки на зовнішньому краю диска $ S $ і колеса $ R $ мають однакову швидкість, застосовується наступне (радіуси поширюються на край):

Зауважте

$ v = \ omega_S \ cdot r_S = \ omega_R \ cdot r_R $

Швидкість точки $ P $ зазвичай визначається за допомогою колеса $ R $, на якому знаходиться точка:

$ v_P = \ omega_R \ cdot r_R $

Однак швидкість можна також визначити тут, визначивши швидкість зовнішніх точок на диску $ S $, оскільки це дорівнює зовнішнім точкам на колесі $ R $ (а $ P $ - зовні):

метод

$ v_P = \ omega_S \ раз r_S = 7,44 \ frac \ раз 0,25m = 1,86 \ frac $

Прискорення точки $ P $ є результатом двох компонентів:

$ a_r = - r_R \; \ omega_R ^ 2 $

Як уже зазначалося вище, тангенціальне прискорення $ a_ $ однакове для всіх точок на поясі. Повне прискорення випливає з двох компонентів:

$ a_r = - r_R \ cdot \ omega_R ^ 2 $

Оскільки тангенціальне прискорення однакове для всіх зовнішніх точок, його також можна визначити за диском $ S $:

$ a_ = r_S \; \ alpha_S = 0,25 м \ cdot 2 \ frac = 0,5 \ frac $

Нормальна складова прискорення $ a_r $ різна для кожної точки, ось чому:

$ a_r = -r_R \ cdot \ omega_R ^ 2 $

Кутова швидкість $ \ omega_R $ все ще відсутня. Це можна визначити з залежності між швидкістю:

Зауважте

$ v = \ omega_S \ cdot r_S = \ omega_R \ cdot r_R $

Вирішити для $ \ omega_R $:

Нормальною складовою прискорення є:

$ a_r = -r_R \ cdot \ omega_R ^ 2 = -0,55м \ cdot (3,38 \ frac) ^ 2 = -6,28 \ frac $

Тоді загальне прискорення призводить до:

---