Побутовий оптимум
Зараз ми маємо дві важливі відомості про (модельні) домогосподарства: з одного боку, ми знаємо, що вони можуть собі дозволити. По-друге, ми знаємо, чого вони хочуть. Ми можемо відобразити обидва графічно: те, що ви можете собі дозволити, ми показуємо в товарному просторі з обмеженням бюджету. Ми можемо показати, чого вони хочуть, на тій самій діаграмі за допомогою кривих байдужості. Для того, щоб побачити, як вони можуть якнайкраще задовольнити свої побажання в рамках бюджетних обмежень, потрібно лише об’єднати два аспекти.
Для цього ми беремо числовий приклад, який ми використовували при побудові бюджетного рядка. З доходом E у розмірі 1000 євро домогосподарство може придбати товари X та Y, вартість яких складає 5 та 4 євро. Бюджетне обмеження, яке ми визначили, відтворено тут на рисунку 1. Домогосподарство могло оплатити пачку товарів R своїм доходом; Він міг дозволити собі S, не витрачаючи повністю свій дохід, і доходу в 1000 євро було б недостатньо для придбання пачки товарів Q.
Жовта область показує обмеження бюджету домогосподарства з доходом 1000 євро, яке може придбати хороший X за 5 євро і хороший Y за 4 євро.
Ми хочемо припустити, що домогосподарство має переваги щодо товарів, які можна представити за допомогою функції корисності U = XY. Це та сама функція корисності, яку ми знайшли у прикладі сирного пива і для якої ми вже побудували криві байдужості. На рисунку 2 показано три обрані криві байдужості для цієї функції корисності. Значення індексу кривих на малюнку шкали складають 5000, 12500 та 20000.
Вибрані криві байдужості для функції корисності U = XY.
Наприклад, ми могли б відобразити уподобання домогосподарства, використовуючи функцію корисності U = (XY) 0,5. Якби ми використовували цю функцію, ми мали б однакове відображення для значень індексу корисності 70,71, 111.80 та 141,42.
З функцією корисності U = (XY) 0,5 перший закон Госсена застосовується до обох товарів, оскільки другі часткові похідні від’ємні. Ті самі переваги також представлені U = XY. Чи застосовується закон Госсена і до цієї функції корисності?
Тепер ми наводимо дві думки про те, чого хоче домогосподарство та що воно може собі дозволити, просто розмістивши дві схеми з малюнків 1 та 2 одна на одній (див. Рис. 3). Домогосподарство хотіло б досягти кривої байдужості I3 (оскільки вона показує найбільшу вигоду з трьох проведених кривих байдужості), але обмеження бюджету цього не дозволяє. Очевидно, що найвища досяжна крива байдужості впливає на бюджетну лінію. Припущення про рівновагу (опуклість кривих байдужості; зменшення граничної швидкості заміщення) гарантує наявність чіткої дотичної точки.
Поєднуючи бюджетні обмеження та криві байдужості, отримуємо інформацію, яку бажає домогосподарство виконати з заданими цінами та доходами.
Дотична точка позначена на малюнку 4. Домогосподарство досягає найбільшої можливої вигоди, коли витрачає свій дохід на пачку товарів P, тобто купує 100 X та 125 Y - як це можна визначити з графіку за допомогою "методу придивлятися". Цю пачку товарів або точку Р називають побутовим оптимумом або побутовою рівновагою.
Домогосподарство знаходиться в рівновазі, коли споживає пакет Р.
в Баланс домогосподарств (або оптимальний) нахили бюджетної лінії та крива байдужості збігаються.
Наступне Різдво неодмінно настане .
Використовуючи концепцію рівноваги домогосподарств, подумайте, чому подарунок грошей, як правило (і за припущеннями) приємніший, ніж подарунок у натуральній.
В іншому випадку P не буде дотичною, а перетином. Ми визначили (абсолютний) нахил кривої байдужості у попередньому розділі як відношення граничної корисності X та Y (див. Рис. 6 та рівняння [5] там). (Абсолютний) нахил бюджетної лінії відповідає співвідношенню цін товарів X і Y (див. Рис. 4). Отже, в бюджетній рівновазі це співвідношення граничної корисності двох товарів відповідає їх співвідношенню цін. Це твердження також стосується випадку n-товарів, щоб його можна було сформулювати загалом:
В оптимумі домогосподарств граничний коефіцієнт корисності двох товарів відповідає їх співвідношенню цін.
Оскільки граничний коефіцієнт корисності відповідає негативній оберненій граничній швидкості заміщення, застосовується також наступне:
(Абсолютна) гранична норма заміщення відповідає в рівновазі домогосподарства зворотному співвідношенню цін на товари.
Це твердження, які звучать дивно і важко зрозуміти. Але контрприклад дає зрозуміти, що так повинно бути. Для цього ми розглянемо випадок на малюнку 5, коли домогосподарство не знаходиться в рівновазі в точці R. Коефіцієнт граничної корисності не збігається із співвідношенням цін на товари. Це становить 5/4 = 1,25 і показує нахил бюджетної лінії з від’ємним знаком. Отже, домогосподарство може дозволити собі 1,25 одиниці більше Y при постійних витратах, якщо відмовляється від однієї одиниці X.
Починаючи з R, домогосподарство може збільшити свою корисність, оскільки воно може обміняти товар Y на ринку на менше X, ніж було б готово відмовитись у разі байдужості.
Тепер у R викладено тангенс, щоб мати можливість розпізнати, як домогосподарство обмінюватиме товар один на одного у випадку байдужості. Блакитна лінія а майже у п’ять разів довша за зелену лінію b. Тож у випадку байдужості домогосподарство було б готове відмовитись від 5 одиниць X за 1 одиницю Y. Якщо він насправді відмовився від 5 одиниць X, він міг би купити взамін 6,25 одиниць Y. За переважаючих ринкових цін він може обміняти Y на X набагато дешевше, ніж це було б потрібно для байдужості. Однієї одиниці Y йому було б достатньо для байдужості, насправді він отримує 6,25 одиниць. В результаті він рухатиметься вище бюджетної лінії, тобто споживатиме більше Y і менше X.
Той, кому яблуко вартує двох груш, обов’язково подарує грушу, якщо зможе обміняти на неї яблуко. Це звичайно. Але це - як би просто це не звучало - ключ до розуміння моделі.
Поки він "блукає" від R у напрямку P, споживання Y зростає, а X зменшується. Виходячи із закону зменшення граничної норми заміщення, це призводить до того, що Y зменшується, а X - збільшується. Поки домогосподарство не досягне точки Р, в принципі застосовуються ті самі міркування, що і в пункті Р: домогосподарство може обмінювати товари на ринку в кращому співвідношенні, ніж це необхідно для того, щоб підтримувати його постійне використання. У самій точці Р він може обміняти товари на ринку точно у тому співвідношенні, яке підтримує постійне його використання.
Інший спосіб зрозуміти, чому R на рис. 5 не може бути оптимумом домогосподарства, полягає в наступному: Якщо рухатись по кривій байдужості від R у напрямку S, користь залишається постійний. У той же час, однак, ви опускаєтесь нижче бюджетної лінії. Домогосподарство більше не витрачає повний дохід, як у R. Очевидно, це означає, що він "може придбати однакові вигоди за менші гроші". Але тоді в Р. це могло бути не в оптимальній ситуації На відміну від цього, домогосподарство не може "купувати" вигоди, досягнуті в P, на суму, меншу за загальний дохід. Отже, покращення від P. неможливе. Таким чином, P є оптимальним. (Ця аргументація тісно пов'язана з розглядом, відомим під ключовим словом "подвійна проблема": Для даного рівня корисності I2 дохід мінімізується за заданими цінами. Тож для досягнення цього рівня корисності прагнуть мінімально можливі витрати домогосподарства Таким чином, Р виявляється балансом домогосподарств - і на раз це не оманливе.)
Перевірте, чи отримаєте ви той самий результат з функцією корисності U = (XY) 0,5 та необхідною умовою рівноваги домогосподарства з рівняння [1], як у числовому прикладі в сусідньому тексті з функцією корисності U = XY.
Перш ніж пан К. вирішив схуднути, його функцією корисності була U = 3S 0,5 A 0,5, де S означає шоколад, а A - яблука. Ціна за один кг шоколаду становить pS = 4, за один кг яблук pA - 2 EUR. Пан К. витрачає щомісяця 200 євро на яблука та шоколад. Згідно з його рішенням, функція корисності пана К. U = 4S 0,25 A.
На скільки кг менше шоколаду з’їдає пан К.?
Обговоріть (з ескізами):
а) Якщо домогосподарство оптимально споживає 21 одиницю хорошого х та 42 одиниці хорошого у, то хороший х точно вдвічі дорожчий за добрий у.
б) Якщо дохід домогосподарства потроїться, споживання зросте з х до 63, а споживання з у до 126 одиниць
Той, хто знає, як максимізувати U (x, y) за обмеження EВ = В pxxВ + В pyy, також міг обчислити необхідну умову для рівноваги домогосподарства:
Для числового прикладу з функцією корисності U = XY отримуємо
і використовуючи рівняння бюджетного рядка 1000 = 5x + 4y оптимальних величин y * = 125 та x * = 100.
Основний результат цього розділу - у двох версіях:
Графічно: Бюджет знаходиться в рівновазі, де бюджетна лінія торкається (найвищої) кривої байдужості.
Аналітичне: Домогосподарство знаходиться в рівновазі, якщо коефіцієнт граничної корисності відповідає співвідношенню цін на товари (див. Рівняння [1]).
Цей результат також називається Другий закон Госсена (синонім: еквімаргінальний принцип, правило граничної компенсації корисності, закон вирівнювання зваженої граничної корисності, закон граничної компенсації корисності Госсена).
Необхідна умова для максимуму функції U (x, y) з двох змінних
У крайній точці A нескінченно малі зміни значень x та y не призводять до змін значення функції.
можна графічно побачити в точці А на малюнку 1, що граничні рухи, паралельні осям, підтримують значення функції незмінним (це також буде у найнижчій точці лимона, тому умова недостатня, а лише необхідна, оскільки вона також стосується мінімуму).
У пункті В, однак, визнається, що збільшення значення у збільшило б значення функції. Очевидно, що в B ще немає найвищої точки лимона.
В результаті бюджетного обмеження, яке на малюнку представлено прямою лінією, як e, ніякі незалежні рухи dx та dy неможливі. Зміна x пов'язана з відповідною зміною y через співвідношення цін на товари (нахил бюджетної лінії):
З графічної точки зору це є синонімом різання лимона вертикально поперек e та пошуку найвищої точки різаного краю.
Рівняння [2a], вставлене в [1], дає
або словами: Коефіцієнт граничної корисності має узгоджуватися в рівновазі бюджету із співвідношенням цін відповідних товарів (дивитися також. Метод Лагранжа для більш елегантного методу).
Альтернативна інтерпретація можлива на основі графічного представлення кривої байдужості та бюджетної лінії (точка Р на рис. 4): На кривій байдужості зміна корисності dU за визначенням дорівнює нулю. Таким чином, його нахил можна задати як [1]
Найвища крива байдужості досягається там, де бюджетна лінія стикається з кривою байдужості. Крива байдужості та бюджетна лінія можуть дотичні лише в тому випадку, якщо вони мають однаковий нахил dy/dx (інакше вони перетиналися б). Тому нахил бюджетної лінії з [2a] повинен узгоджуватися з нахилом кривої байдужості з [4]:
Другий закон Госсена Германа Генріха Госсена (1810-1858) можна знайти - як, звичайно, першу - в його основній праці "Розробка законів про статевий акт і правила людських дій, що випливають з нього" від 1854 року:
Другий закон Госсена
"Людина, котра може вільно вибирати між кількома задоволеннями, але часу якої недостатньо для того, щоб повністю їх підготувати, повинна мати, хоч би різною була абсолютна величина цих насолод, щоб збільшити суму свого задоволення до найбільшого перш ніж він навіть повністю підготує найбільший, всі вони частково готуються, і в такій пропорції, що кількість задоволення в той момент, коли його підготовка переривається для всіх, все ще залишається таким же. "
Сьогодні він відомий під різними назвами: Equimarginalprinzip, правило вирівнювання граничної корисності, закон вирівнювання зваженої граничної корисності, закон вирівнювання граничної корисності Госсена.
Навіть якщо це звучить трохи застаріло, воно точно описує ситуацію, коли бюджетна лінія стикається з найвищою кривою байдужості. Однак Госсен все ще був переконаний у кардинальній вимірюваності корисності, так що він міг би подумати, що міг би заявити про збільшення корисності, яке відбудеться, якщо один євро витратити на певний товар. Аналогічним чином, але дещо сучаснішим, ніж описано вище, Другий закон Госсена можна сформулювати так: "Останній євро, витрачений на добро х, повинен породити таке ж збільшення корисності в бюджетній рівновазі, як останній євро, витрачений на добро". якщо це не так, то користь може бути збільшена, якщо витратити на один євро менше на х і на євро більше на у (або навпаки). Тоді перший закон Госсена забезпечує, якщо він застосовується до обох товарів, що існує оптимальний варіант. Цілком формально і для будь-якої кількості товарів Другий закон Госсена можна сформулювати так: "Гранична корисність кожного товару, поділена на ціну цього товару, повинна бути однаковою для всіх товарів".
Госсен був переконаний, що люди повинні лише дотримуватися цього правила, щоб досягти найбільшого щастя. Він хотів, щоб його правила розумілися як інструкції до дії, приписували їм якість природних законів. Можливо, ще й тому, що він одним із перших застосував математику, щоб допомогти отримати результати. Без них, сказав Госсен, економіка була б неможливою. І якщо ти міг це обчислити і «довести», це повинно було бути без сумніву, правильно!?
| Годин | В VWLВ | В BWLВ | статистика |
| 0 | 20-го | 40 | 80 |
| 1 | 45 | 52 | 90 |
| 2 | 65 | 62 | 95 |
| 3 | 75 | 71 | 97 |
| 4-й | 83 | 78 | 98 |
| 5 | 90 | 83 | 99 |
| 6-й | 92 | 86 | 99 |
Мартін Бергманн вже вивчав право; зараз він готується до середнього диплому. На додаток до навчання, Б. все ще працює неповний робочий день в юридичній фірмі, тому він має лише 6 годин на день, щоб підготуватися до іспиту. Звичайно, він більше не готується до справедливості. Його цікавить якнайкращий середній диплом, загальна оцінка якого обчислюється як просте середнє значення окремих оцінок. Він підозрює, що при альтернативному навантаженні в 100 можливих балів за іспит він може досягти таких результатів:
В В
Як Б. розподіляє свої шість годин часу на підготовку щодня? Як ви отримали результат?
Знайдіть подібні сторінки на WWW: