Процес ітерації - лексикон математики
Лексикон математики: методи ітерації
Процеси, які обчислюють розв’язання задачі як граничне значення нескінченного ряду наближених розв’язків.
На відміну від цього, прямі процедури - це методи, які (у разі округлення безпомилкових розрахунків) обчислюють точне рішення задачі після кінцевої кількості кроків.
З деякими проблемами, напр. Б. при вирішенні завдань власних значень для чисельного розв’язання завжди слід використовувати методи ітерації, оскільки ці задачі i. як правило, не може вирішити це безпосередньо.
Для інших проблем, напр. Б. може бути використаний розв’язок лінійних систем рівнянь Ax = b, прямий або ітераційний методи. Методи прямого вирішення лінійних систем рівнянь, як правило, змінюють задану матрицю коефіцієнтів A і перетворюють вихідну задачу в таку, яка є простішою для вирішення. При ітераційному вирішенні лінійних систем рівнянь матриця коефіцієнтів A не змінюється; кроком ітерації тут часто є виконання множення матриці-вектора. Хоча прямі методи обчислюють точне рішення задачі принаймні теоретично, питання збіжності та швидкості збіжності важливі для ітераційних методів.
Метод ітерацій для фіксованих точок представляє особливий інтерес для чисельної математики, яку розуміють як ітераційний метод для обчислення фіксованої точки на основі теореми Банаха про фіксовану точку; див. також повторювані цифри.
Нарешті, деякі зауваження щодо поведінки методу ітерації для розв’язання рівняння з фіксованою точкою T (x) = x в околицях нерухомої точки. Нехай \ (M \ subseteq >> ^ \) та \ (T: M \ to >> ^ \) будуть відображенням. Якщо x * є фіксованою точкою T, часто використовується ітераційний метод \ (_ = T (_) \) із фіксованим наближенням x0 для приблизно визначення фіксованої точки. Тоді поведінка процедури рішення поблизу фіксованої точки може бути визначена шляхом опису порядку процедури. Якщо є константа c і a (p \ in> \) така, що: \ begin || ^ - ^ || \ le c \ cdot || ^ - ^ | ^
,\ закінчуючись 0 ≤ c 1, метод, породжений T, називається методом порядку p, за умови, що починається з x0 з відповідної околиці x *.
Кожен p-й метод порядку збігається локально, тобто існує околиця U x *, так що для кожного \ (_ \ in U \) пов'язана послідовність ітерацій \ (_ = T (_) \) сходиться до x *.
Можливо, вас також зацікавить: Spektrum - Die Woche: 48/2020