Цифровий інтегратор
1. Вступ
Для неперервного часового сигналу x (t) інтегрування визначається:
де τ - константа однорідна одночасно, коли y (t) має ті самі розміри, що і x (t). Для досягнення справжньої інтеграції встановимо τ = 1 .
Синусоїдальна передавальна функція інтегратора:
Тому в синусоїдальному режимі інтегратор характеризується зсувом фаз і коефіцієнтом посилення децибелів, що зменшується до -20 дБ на десятиліття.
Цей документ показує, як досягти інтегрування дискретизованого сигналу xn. Період вибірки зазначається Te .
2. Ідеальний цифровий інтегратор
2.а. Дизайн фільтра
Нехай yn - цифровий сигнал, отриманий вибіркою y (t). Диференціальне рівняння також можна записати:
Замінивши похідну кінцевою різницею, отримаємо:
Попереднє відношення має такий вигляд:
Це відношення рекуррентності визначає рекурсивний фільтр (з нескінченною імпульсною характеристикою), передавальна функція якого в Z:
Щоб побудувати частотну характеристику, ми можемо встановити Te/τ = 1, оскільки це відношення не впливає на форму вихідного сигналу, лише на його амплітуду:
figA.pdf
Ми взагалі не отримуємо бажаної інтегруючої поведінки, оскільки зсув фаз повинен бути постійно рівним -π/2. Рішення полягає в написанні цифрової діаграми у два етапи (типу Адамса-Моултона):
figB.pdf
Таким чином, ми отримуємо дуже хороший інтегратор, за винятком поблизу частоти Найквіста (fe/2).
2.b. Виконання фільтрації
Щоб виконати фільтрацію списку зразків, ми помічаємо, що обчислення вихідних даних починається з y1, і ми повинні вибрати значення для y0. Візьмемо y0 = 0 .
Ось функція, що виконує фільтрацію списку зразків, що зберігаються в пам'яті, для рекурсивного фільтра з чисельником і знаменником ступеня 1:
Ми застосовуємо попередній фільтр до імпульсу:
figC.pdf
Імпульсна характеристика інтегратора є кроком. Він не прагне до нуля, коли n наближається до нескінченності (воно є постійним), що показує, що інтегратор нестійкий.
2.с. Тест інтегратора
Хороший спосіб перевірити інтегратор - подати йому віконний сигнал. Тому ми збираємося оцифрувати квадратний хвильовий сигнал, що подається GBF, за допомогою картки придбання та наступного сценарію:
Ми застосовуємо інтегруючий фільтр. Коефіцієнт посилення зменшується вибором нижчого значення b0 = b1 .
figD.pdf
Ми спостерігаємо сильний дрейф через наявність нульової частотної складової в сигналі xn, хоча він дуже слабкий.
Коли сигнал x (t) містить компонент нульової частоти, який бажано інтегрувати, цей інтегратор повинен бути використаний. Однак компенсація повинна бути зроблена, щоб скасувати будь-яку випадкову зміну.
3. Фільтр низьких частот першого порядку
3.а. Аналоговий фільтр
Щоб стабілізувати інтегруючий фільтр, щоб не мати вихідного дрейфу, коефіцієнт підсилення на нульовій частоті повинен бути повернутий до кінцевого значення. Простий спосіб зробити це - використовувати фільтр низьких частот першого порядку.
Розглянемо фільтр низьких частот, передавальна функція якого:
Цей фільтр майже інтегрується, коли .
Диференціальне рівняння, пов’язане з цим фільтром:
3.b. Цифровий фільтр
Дискретизація диференціального рівняння призводить до наступного співвідношення:
Таким чином ми отримуємо рекурсивний фільтр, визначений:
Його передавальна функція в Z:
Полюс дорівнює z = r, що суворо менше 1, що робить фільтр стабільним. Щоб частотна область інтегрування була широкою, співвідношення Te/τ має бути низьким, а отже r бути близьким до 1. Наприклад, якщо ми хочемо, щоб область інтеграції, яка починається приблизно із сотої частоти дискретизації, ми вибираємо Te/τ = 1/100 або менше. Для форми АЧХ ми можемо вільно обрати коефіцієнт коефіцієнта в H, який впливає лише на амплітуду вихідного сигналу, а не на його форму.
figE.pdf
Цей фільтр низьких частот має граничну частоту, приблизно рівну одній тисячній частоти дискретизації, та інтегруючий домен, який починається приблизно до сотої цієї частоти. Давайте подивимося імпульсну характеристику цього фільтра:
figF.pdf
Імпульсна характеристика прагне до нуля, оскільки фільтр стабільний, але зменшення відбувається повільно, особливо оскільки r близьке до 1. Час відгуку становить τ. Таким чином, аналогом широкосмугового інтегруючого фільтра є дуже великий час відгуку, який може дратувати під час перехідних процесів (наприклад, зміна частоти). Тому потрібно буде вибрати τ якомога точніше відповідно до мінімальної частоти сигналів, які потрібно інтегрувати.
3.в. Тест фільтра
Ось застосування фільтра до квадратного сигналу. Значення b0 = b1 вибираються для зменшення коефіцієнта підсилення.
figG.pdf
Після перехідного режиму тривалості τ ми спостерігаємо стаціонарний стан з відносно великим, але постійним зсувом на виході.
Для отримання справжнього інтегрування, що відповідає τ = 1 у відношенні, необхідно використовувати:
figH.pdf
4. Вбудований фільтр з відсіканням нульової частоти
Попередній фільтр можна вдосконалити, скасувавши коефіцієнт посилення на нульовій частоті. Це робиться для створення смугового фільтра з дуже низькою частотною смугою. Такий фільтр можна визначити за допомогою наступної функції передачі Z:
де r - параметр, близький до 1, але менше 1. Його коефіцієнт підсилення на нульовій частоті справді дорівнює нулю через нуль при z = 1. Відношення рецидиву:
що є приватним випадком наступної загальної форми:
Ось приклад:
figI.pdf
Ось функція, яка виконує фільтрацію перших двох значень y0 = y1 = 0:
і застосування до прямокутного хвильового сигналу:
figJ.pdf
Отримуємо вихідний сигнал без зміщення. З іншого боку, перехідна реакція є більш широкою.
Для отримання справжнього інтегрування достатньо встановити g = τ .