Функція природного логарифму - Maxicours

- Знати визначення природного логарифму
- Знати ознаку та напрямок варіації цієї функції
- Знати безперервність і диференційованість функції ln
- Функціональне відношення до майстра
- Знання того, як знайти асимптотичну поведінку та варіації функції природного логарифму

За все х > 0, існує унікальний реальний р як от x = e р . Функція, до якої х матч р це називається функція натурального логарифму і зазначається ln. і р = ln (х) дорівнює x = e р і .

Наслідки:

• e 0 = 1 тому ln (1) = 0; e 1 = e тому ln (e) = 1.
• За все х справжній, e ln (x) = x.
• Для всіх x> 0, ln (e x) = x.

Знак функції ln

• ln x = 0 x = 1.
• ln x 0 x> 1.

Напрямок варіації функції ln

Функція ln є суворо збільшується над] 0; +[.

З цього випливає:

• Для всіх в і суворо позитивний, в Результат

Для всіх справжніх р, рівняння ln (х) = р має унікальне, суворо позитивне рішення.
Що означає "Функція ln є бієкцією від] 0; + [увімкнено] -; + [".

Приклади

• Дозвіл у рівнянні ln (х - 1) = ln (2х + 3)

ln (х - 1) = ln (2х + 3) х - 1> 0 і 2х + 3> 0 і х - 1 = 2х + 3. Отже ln (х - 1) = ln (2х + 3) ⇔ х > 1 і х > і х = -4.

Ми виводимо це рівняння не має рішення.

• Дозвіл у нерівності ln (х - 1)
ln (х - 1) = ln (2х + 3) х - 1> 0 і 2х + 3> 0 і х - 1 1 і х > і х > -4.

Ми робимо висновок, що набір рішень є ] 1; [.

---