G; del та межі логіки
Математик Курт Гедель присвятив свою роботу раціональності, коли його приватного життя часом бракувало.
Саме в цей час Гедель здобув міжнародну репутацію в математичній логіці, зокрема завдяки двом статтям: його дисертації, захищеній у Віденському університеті в 1929 р. І опублікованій наступного року, і його трактату «Про формально нерозбірливі положення». системи, опублікована німецькою мовою в 1931 р. і представлена як кваліфікаційна дисертація в 1932 р. У роботі „Principia Mathematica” Бертрана Рассела (1872–1970) та Альфреда Уайтхеда (1861–1947) автори пропонують логіку як основу математики. Вони вирішують проблему, поставлену в 1928 році Девідом Гільбертом (1862-1943) та Вільгельмом Акерманом (1896-1962) у своїх Основи теоретичної логіки: Гільберт та Аккерман викладають правила обробки логічних виразів, що складаються із сполучників (та, або.), Кванторів (для всього, що є.) Та змінних (чисел, пропозицій, множин.).
Чи дозволяють прийняті правила маніпуляцій, додані до аксіом математичної теорії, виводити всі
твердження справедливі для будь-якої структури, що задовольняє аксіоми? Якщо говорити простіше, чи можемо ми продемонструвати все, що відповідає всій інтерпретації символів?
Поки ми не отримаємо медичну картотеку Геделя (за ним прийшов психіатр з Принстону), хвороба Геделя залишатиметься загадкою. Це починається з іпохондрії: одержимий своєю дієтою та травленням, він щодня, більше 20 років, відзначає свою температуру та споживання магнезії. Спочатку він боїться випадкового отруєння, але наприкінці свого життя він побоюється, що його вб'ють, отруївши його.
Він майже перестає їсти, одночасно приймаючи численні таблетки від уявної хвороби серця.
Окрім гострих криз, на працездатність Геделя не сильно впливають його психічні проблеми. Його підтримує Адель Поркерт, з якою він познайомився у нічному клубі у Відні під час навчання.
Незважаючи на очевидну очевидність, аксіома вибору має парадоксальні наслідки. Наприклад, якщо ми його приймаємо, ми також повинні визнати, що сфера розкладається на кінцеву кількість частин, які ми можемо відокремити і зібрати в нову сферу подвійного об'єму першої.
Аксіома вибору дуже суперечлива: математики, сучасники Геделя, справедливо підозрюють, що ні аксіома вибору, ні гіпотеза континууму не можуть бути виведені з інших аксіом теорії множин. Вони побоюються, що використання цих теорем у доказах призведе до суперечностей.
Однак Гедель демонструє, що ці дві аксіоми узгоджуються з іншими.
Результати Геделя в теорії множин відповідають на питання, задане Гільбертом у 1900 р. На Міжнародному конгресі математиків.
У цей момент Моргенштерн, друг, який перейшов від Ейнштейна після його смерті в 1955 році для догляду за Геделем, помер від раку.
Гедель опиняється наодинці зі своєю зростаючою параноїєю і швидко занепадає. Побоюючись отруєння, він перестав їсти і помер 14 січня 1978 року.
Адель Гедель переживає свого чоловіка на три роки. Померши 4 лютого 1981 року, вона заповіла Інституту перспективних досліджень права на статті Геделя. Пихаті люди Принстону завжди тримали її подалі, але вона пишалася роботою свого чоловіка і знала, що без її підтримки він не міг би цього зробити.
За своє життя Гедель опублікував дуже мало статей (Бернард Ріманн - єдиний великий математик, який публікував менше); однак їхній вплив був величезним.
Деякі його статті, написані від руки готикою, нещодавно були перекладені та опубліковані.
у третьому томі його Повної праці. Їх зміст, наприклад, формалізація "онтологічного доказу" існування Бога, сьогодні цікавить увагу нематематиків.
Джон Доусон - професор математики в Університеті Пенсільванії; він один із тих, хто забезпечив публікацію повних праць Геделя.
ЩОБ ЗНАТИ БІЛЕ
Ернст Нагель, Джеймс Ньюман, Курт Гедель та Жан-Ів Жирар, Ле теорема де Гедель, Ле Сюй, 1997.
Дуглас Р. Хофстадтер, Гедель, Ешер, Бах, Interéditions, 1998.
Курт Гедель, Збірник творів, вип. 1-3, під редакцією Соломона Фефермана та співавт., Oxford University Press, 1986, 1990, 1995.
Джон Доусон, Логічні дилеми: життя і діяльність Курта Геделя, А.К.Пітерс Лтд, Велслі, Массачусетс, 1997.
N ° 262 серпня 1999 р. Для науки
Нерозбірливі пропозиції
Найвідоміший результат Геделя стосується тверджень про натуральні числа, правдивих, але недоказових
в арифметиці. Наведене рефлексійне речення є простим прикладом правдивих, але нерозбірливих тверджень.,
тобто ні демонструється, ні спростовується:
"Цю пропозицію не можна продемонструвати".
Його можна перетворити на число за методом, розробленим Геделем. Тоді ми показуємо, з одного боку, що якщо це твердження можна продемонструвати, його заперечення також є: отже, воно недоказуване.
З іншого боку, ми доводимо, що це, проте, правда.
Поліноміальні рівняння призводять до дещо складніших тверджень.
Наприклад, твердження про те, що деякі поліноміальні рівняння не мають повних коренів (тобто розв’язків)
не можна визначити.
Гедель продемонстрував, що аксіоми, що визначають натуральні цілі числа, є неповними: деякі справжні положення теорії чисел недоказуються за допомогою цих аксіом.
Отже, його доказ показує, що існують сутності, які називаються нестандартними цілими числами, різні
натуральні числа, які тим не менше підкоряються цим аксіомам. Як і все, що показано з
аксіоми (червоним кольором) поширюються на всі сутності, які підпорядковуються аксіомам, деякі справжні положення щодо натуральних чисел (синього, зеленого та червоного) необов’язково недоказуються (синього та зеленого).