Розрахунок поздовжнього вигину

Стабільний стан

поперечного перерізу

Кажуть, що тверде тіло знаходиться в стабільній рівновазі, якщо після того, як на ньому відбувається зовнішнє порушення, змінюючи його рівновагу, ця зміна усувається простим припиненням дії тривожного елемента, щоб тіло повернулось назад. у вихідному стані.
У випадку прямолінійних стрижнів, необхідних для стиснення, якщо їх поперечні перерізи мають порівняно невеликі розміри порівняно з довжиною, тоді їхні осі мають тенденцію до згинання, а осьові сили, що їх навантажують, виробляють згинання прутків з інтенсивністю, пропорційною розмірам. Коли навантаження досягають певного рівня (званого критичним), деформації на вигин збільшуються вище межі переносимості прутка, що дає миттєвий вихід, звичайно не через перевищення меж опору його матеріалу, а внаслідок деформації.

Явище поздовжнього вигину

У таких випадках, як наведений вище, мова йде не про поступку запиту, а про конкретне явище, яке називається вигином, яке має катастрофічні наслідки і якого слід уникати. Явище небезпечне, оскільки воно незворотне і не повністю контролюється методами розрахунків. Можна встановити лише рівень критичного навантаження (Fcr), що має значення, характерні для кожного бетонного бруса; прийнято, що для навантажень, нижчих за цей рівень, не відбувається вигину відповідної планки.
З-поміж обчислювальних вимог також визначається критична напруга вигину (scr) стержня - нормальна напруга, що відповідає його критичному навантаженню. Цікаво, що це натяг може бути нижчим за межу пропорційності (або еластичності) матеріалу, випадок, який називається еластичним вигином прутка, але він може бути і вище цієї межі - для якого пряжка є еластично-пластичною.

Проблему пружного вигинання прямих брусків вирішив, з точки зору розрахунків, з середини 18 століття швейцарський вчений Леонард Ейлер. З іншого боку, для еластопластичного вигину, хоча і були встановлені різні теоретичні рішення, вони мають переважно емпіричний характер, базуючись виключно на експериментальних спостереженнях.
Основна ідея розрахунків на вигин полягає в тому, що реальне напруження (Fef) повинно знаходитися на певній відстані (безпеці) від критичного навантаження (Fcr) аналізованого бруса. Ця умова передбачає встановлення мінімально необхідного значення співвідношення між двома рівнями навантаження у вигляді a коефіцієнт безпеки пряжки (С). Цю величину можна визначити як відносно сил F, так і до нормальних напружень наступним чином:

В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В.

Коефіцієнт безпеки на вигин завжди є надзвичайно універсальним, чим вища частина, що важливіша в місці використання або в складі, до якого вона належить. Для корпусів брусків, що зустрічаються в машинних конструкціях, значення коефіцієнта допускається становити від 2,5 до 28, але зазвичай він обмежується 3-4 одиницями.

Розрахунок критичної сили у разі пружного вигину

На відміну від звичайних розрахунків опору, розрахунки стійкості починаються від наслідків явища вигину до його причин. З цієї причини в багатьох аспектах вивчення явища рішення враховують окремі випадки його виробництва.
Щодо еластичного вигину (для якого кр нижче межі пропорційності стор з характерної кривої стиснення матеріалу прутка) аналіз починається від появи напруги згинання на довгих і тонких стиснених прутках. Написавши рівняння середнього волокна (також встановленого Ейлером) для деформованого таким чином бруска, отримується диференціальне рівняння, специфічне для способу опори бруска. Розв’язання рівняння на основі граничних умов призводить до знаходження критичної сили вигину.

Корпус шарнірного бруса з обох кінців

Деформований стан бруска на рис. 1.1 вказує вигляд у будь-якому перерізі згинального моменту форми
Miz (x) = FГ - v (x).
Отже, рівняння Ейлера для цього стану заряду можна записати наступним чином:

В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В ВУ

Якщо всі терміни написані в лівій кінцівці і зроблено позначення

В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В Ч Ч У В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В ВОВ

тоді рівняння стає: В В В В В В В

В В В

Рішення цього диференціального рівняння має бути формою
v (x) = A без сокири + B з сокирою,
а коефіцієнти можна визначити, наклавши умови деформації бруса (граничні умови), задані в даному випадку шляхом запобігання його вертикального руху в перерізах на кінцях:

Остання умова випливає з вимоги уникати тривіального рішення диференціального рівняння, v (x) = 0, а константа k може бути будь-яким натуральним числом (крім нуля). Якщо розглянути перше можливе рішення (k = 1), то виходить, що деформований брусок має вигляд синусоїди, маючи рівняння:

Слід зазначити, що в цьому виразі максимальне значення (v max) переміщення залишається невизначеним, що підтримує можливість катастрофічної еволюції явища вигину.
З умови (a - L = p) випливає значення константи a, яку можна замінити відносно (1.3), наступним чином:
В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В (Б)

Введення I min (найменший з основних центральних моментів інерції перерізу) у формулу призводить до найменшої з можливих критичних сил вигину досліджуваного стержня. Більше того, легко зрозуміти, що згинання стержня (під осьовим зусиллям) відбувається переважно навколо головної центральної осі (поперечного перерізу), щодо якого момент інерції (тобто опір вигин) має мінімальне значення.
Відношення (1.4), називається Формула Ейлера для випадку основного вигину він використовується для розрахунку критичної сили для стиснутого прутка, як у рисунок 1.1 вище.
Увага: критичною силою є рівень вимоги до стиснення, до якого це визнано не відбувається втрата пружної стійкості стержня, тобто слід уникати навантажень, які досягли б цієї межі!

Звичайно, нові розв'язки диференціального рівняння (1.2) можна записати, даючи k значень, відмінних від 1; якщо прийняти k = 2, отримаємо (a - L = 2p) і досягнемо другої критичної сили бруска:
В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В А


Рис. 1.2

Це значення відповідає ситуації, коли довжина бруса зменшується вдвічі додатковою опорою, в середині його довжини, з рухомим з'єднанням (Рис. 1.2) зазначається, що новий варіант підшипника є відносно простим практичним рішенням для збільшення (в 4 рази) критичної сили вигинання стержня, а також його безпечного робочого діапазону.
Для наступних розв’язків диференціального рівняння (отриманих із умови a - L = kp) з аналогічним міркуванням випливає, що вводиться ряд (k - 1) проміжних рухомих опор, отримуючи збільшення k бар. Однак слід зазначити, що будь-яка несправність однієї або декількох опор призводить до значного зменшення критичної сили.!

Розрахунок критичної сили для інших підшипникових корпусів

Для консольної панелі (Рис. 1.3) зазначається, що поздовжня вісь вигнута, залишаючись дотичною до положення з моменту до запиту.
Зусилля згинання в перерізі розраховується так само, як і для шарнірного бруса на кінцях:
Miz (x) = FГ - v (x).

Отже, диференціальне рівняння деформованого волокна також записується у вигляді (1.2) і тут повторюються всі попередні міркування, і єдина відмінність полягає в написанні граничних умов (оскільки вибрано початок координати x, виходить, що стрілка стовпчика - Г®nx = 0 та його обертання відповідно - Г®nx = L) дорівнюють нулю:

Для другої умови спостерігається, що ні константа A (що означало б, що стовпчик взагалі не кривий), ні параметр a не можуть бути нульовими, а з рівності з нулем тригонометричної функції виходить, що її аргумент повинен бути непарна кратна (p/2). Використовуючи перше можливе значення, тобто a = p/2, ми досягаємо:

В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В А

Тобто формула критичного зусилля вигину для планки в консолі.
Аналогічно (з неоднорідними диференціальними рівняннями) можна вирішити ще два випадки опори для стиснених брусків - вбудовування на обох кінцях (Рис. 1.4), відповідно поглиблення на одному кінці і стик на іншому (Рис. 1.5). Критична сила обчислюється для кожного випадку з відношенням, записаним поруч із відповідною фігурою.


Рис. 1.4

В (1.7)


Рис. 1.5

B (1,8)

Аналізуючи співвідношення критичної сили для досліджуваних випадків опор, помічено, що вони за розміром відрізняються від знаменника; цей розмір позначається (Lf2), що позначає «довжину вигину» стержня для кожного варіанту навантаження. Довжини вигину для відповідних ситуацій витягуються із наведених вище співвідношень, як показано нижче:

  • для подвійного шарнірного бруса В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В L В = L
  • для бару в консолі В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В
  • для вбудованого подвійного бруса В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В
  • для шарнірного та заглибленого бруса Lf = 0,707 - L

Таким чином досягається унікальна форма співвідношення Ейлера для розрахунку критичної сили в чотирьох типах опори:
В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В А
Спостереження:

Застосовність формули Ейлера

Було зазначено, що у всіх вищезазначених випадках вигин прутків має еластичний тип: втрата стійкості має тенденцію відбуватися в області пружної деформації матеріалу прутка, при якому максимальне натяг у деталі не перевищує пропорційну межу (пропорційність). від характерної кривої.
Якщо на основі критичної сили, заданої формулою (1.9), визначається критична напруга вигину scr (як відношення між критичною силою та площею поперечного перерізу стрижня), беручи до уваги залежність визначення радіуса інерції. В В В В В В В В В В В Результат:
В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В.
Ці відносини стають набагато простішими, якщо робиться позначення

В В В (1.11)
adicДѓВ В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В

В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В ВУ (1,12)
Число l, коефіцієнт тонкості (або стрункості) аналізованого бруса, є співвідношенням між двома довжинами (він не має розмірів!) І є основним показником того, як розраховується бетонний брусок при вигині.

  • Розрахунки пружної стійкості специфічні для кожного бруска, включаючи матеріал та його навантаження.
  • Коефіцієнт l вкладає в розрахунки вигину вплив на стійкість стержня за рахунок його довжини, опори, а також форми та розмірів його поперечного перерізу.
  • Два бруска характеризуються однаковим значенням коефіцієнта тонкості і втратять свою пружну стійкість однаково.

Виходячи із співвідношення (1.12), можна побудувати криву залежності між критичною напругою вигину та коефіцієнтом l.: оскільки співвідношення (1.12) відноситься до еластичного вигину, це призводить до того, що гіперболічна форма графіка (Рис. 1.6) дійсний лише в області нижче межі пропорційності матеріалу (scr l2 - шина була неправильно розмірена і потребує переосмислення.

B. Для розміру поперечного перерізу бруска

  • Розміри поперечного перерізу невідомі (хоча його форма відома), тому коефіцієнт стрункості встановити неможливо.
  • це припустити у полі палає бар еластичний (тобто фактичне значення l знаходиться праворуч від межі l0).
  • Зі співвідношення (1.9) отримують мінімально необхідне значення моменту інерції поперечного перерізу, з якого розраховують стартове значення розміру перерізу (шина попередньо розмірена).
  • За цим значенням (округленим додаванням!) Обчислюється коефіцієнт стрункості, що залишився від бруска.
  • Якщо шина правильно розмірена і проблема вирішена, тобто розмір, встановлений вище, є остаточним.
  • Якщо lef О »0 = 105, тобто пружне вигинання підтверджується, а прийняті розміри правильні.

б) Для квадратного перерізу без зазорів характерними розмірами є:

І для цього випадку пружне вигинання колони підтверджене, тому розмір перетину прийнятий правильно.

Для того, щоб розрахувати різницю між витратами матеріалу, задіяними двома варіантами секції, спостерігається, що, коли довжина однакова в обох випадках, варіація обсягу задається збільшенням поперечної площі у випадку повної секції щодо секції. трубчастийДѓ. Тому досить скласти співвідношення безпосередньо між варіацією площі та площею повного перерізу:

З цього випливає, що використання трубчастого перетину замість повного призводить до важливої ​​економії матеріалу понад 50%.!