Затухаючі гармонійні коливання - фізика
У попередніх розділах ми розглядали приглушені гармонійні коливання. При незатухаючих коливаннях сили тертя не виникають (наприклад, опір повітря). Отже, коливання може тривати без уповільнення через тертя.
Приглушені вібрації
Незатухаючі вібрації можливі лише за відсутності сил тертя. З іншого боку, реальні вібрації сповільнюються внаслідок тертя і в якийсь момент зупиняються (якщо енергія регулярно не надходить). Такі вібрації називаються приглушені вібрації призначений.
Зауважте
Енергія виділяється в навколишнє середовище через тертя. Якщо залишити таку систему на власний розсуд, зрештою це призведе до глухого кута.
За допомогою маятника пружини більша частина енергії вібрації перетворюється в теплову при деформації пружини. Але опір повітря (залежно від розміру ваги, що висить на маятнику) тут також може зіграти свою роль.
Рівняння руху
Затухаючі коливання внаслідок тертя можна описати так званою константою демпфування $ \ delta $. Це вказує на те, наскільки сильно затухають коливання.
При затухаючих коливаннях амплітуда $ A $ з часом вже не є постійною, а змінюється внаслідок тертя. Якщо існує сила тертя, яка залежить від швидкості $ v $ (наприклад, опору повітря), амплітуда $ A (t) $ експоненціально зменшується від початкового значення:
метод
$ A (t) = A \ cdot e ^ $ Функція амплітуди
На графіку вище видно гармонійно демпфіровані коливання. Коливання починаються з амплітуди $ A $. Амплітуда $ A $ експоненціально зменшується з амплітудною функцією $ A (t) = A \ cdot e ^ $ через тертя.
Рівняння руху (див. Розділ Гармонічні коливання: Рівняння руху) повинні бути адаптовані відповідно до зміни амплітуди $ A $ до:
метод
$ s (t) = A \ cdot e ^ \ cdot \ sin (\ omega_d \ cdot t) $ Прогин (закон часу і місця)
Початок руху не в положенні відпочинку:
$ s (t) = A \ cdot e ^ \ cdot \ sin (\ omega_d \ cdot t + \ varphi_0) $
Початок руху в точці розвороту (зсув фази на $ \ varphi_0 = \ frac $):
$ s (t) = A \ cdot e ^ \ cdot \ cos (\ omega_d \ cdot t) $
$ s (t) = A \ cdot e ^ \ cdot \ sin (\ omega_d \ cdot t + \ frac) $
При виведенні функції $ s (t) $, звичайно, також повинна бути виведена і амплітудна функція. Одноразова похідна відхилення призводить до швидкості $ v (t) $, а двократна похідна - прискорення $ a (t) $.
Наступне стосується затухаючої власної частоти $ \ omega_d $ окремих маятників:
метод
Це означає для всіх трьох маятників:
метод
Весняний маятник: $ \ omega_d = \ sqrt - \ delta ^ 2> $
Маятник нитки (математичний маятник): $ \ omega_d = \ sqrt - \ delta ^ 2> $
Фізичний маятник: $ \ omega_d = \ sqrt< \frac - \delta^2> $
Відповідно, тривалість коливань $ T $ і частота коливань $ f $ також повинні бути скориговані:
метод
Основний ефект: Співвідношення $ q $ двох сусідніх амплітуд визначається як:
метод
логарифмічний декремент $ \ Lambda $ призводить до:
метод
$ \ Lambda = \ ln (q) = \ delta \ cdot T_d $ Логарифмічний декремент
На наступному графіку показано рівняння руху та функції амплітуди для різних вихідних точок руху:
Загальна енергія
При затухаючих коливаннях загальна енергія зменшується з часом. Отже, це повинен бути товар
метод
повинні враховуватися в загальній енергії.
До різьбового маятника відноситься наступне:
Приклад застосування: затухаючі коливання
приклад
Зменшене коливання починається з максимальної амплітуди і через 15 с має лише 2% від початкової амплітуди. Наскільки великий коефіцієнт розпаду коливань?
Тут ми можемо використовувати функцію амплітуди:
Після $ t = 15с $ дається лише 2% від початкової амплітуди $ A $:
Далі ми можемо розв’язати це рівняння для $ \ delta $:
$ ln (0,02) = - \ delta \ cdot 15s $
Коефіцієнт розпаду становить 0,261с ^ $.
Приклад застосування: логарифмічний декремент
приклад
Повинен бути визначений логарифмічний декремент $ \ Lambda $ математичного маятника (= нитковий маятник). Максимальна амплітуда зменшилась до $ \ frac $ через 1,5 хв. Довжина маятника становить $ l = 1,8m $. Також обчисліть різницю $ \ трикутник \ omega $ між власними частотами затухаючого та незатухаючого маятника.
Логарифмічний декремент $ \ Lambda $ визначається наступним чином:
$ \ Лямбда = \ ln (q) = \ delta \ cdot T_d $
Амплітуда $ A (t = 1,5 хв) $ дорівнює $ \ frac $ початкова амплітуда:
Тепер ми можемо спочатку визначити коефіцієнт розпаду $ \ delta $ з амплітудної функції:
$ ln (\ frac) = - \ delta \ cdot 90s $
Далі нам потрібно визначити період коливань $ T_d $:
Це нитковий маятник із власною частотою $ \ omega_d = \ sqrt - \ delta ^ 2> $:
Вставка значень:
Результат логарифмічного зменшення:
$ \ Лямбда = 0,02 с ^ \ cdot 2,692 с = 0,054 $
Наступним кроком є визначення різниці між власними частотами незатухаючого та загасаючого коливань:
$ \ трикутник \ omega = \ omega - \ omega_d $
$ \ трикутник \ omega = 0,0000857 = 8,57 \ cdot 10 ^ $
Приклад застосування: амплітуда
приклад
Друга амплітуда затухаючих коливань на 1,5 мм менше, ніж перша амплітуда 25 мм. Наскільки велика 8 амплітуда?
Співвідношення двох сусідніх амплітуд можна визначити:
У вправі ми вказали першу амплітуду з $ A_1 = 25 мм $, а другу амплітуду з $ A_2 = 25 мм - 1,5 мм = 23,5 мм $. Далі ми можемо знайти відношення $ q $:
Тепер ми хочемо визначити розмір 8-ї амплітуди. Для цього ми можемо адаптувати формулу таким чином, щоб:
Інший цікавий зміст за темою
Представлення функцій у блоці передачі
Можливо, тема презентації функцій у блоці передачі (варіанти презентації структур управління) з нашого онлайн-курсу також для вас Техніка управління Цікаво.
Вимушені вібрації
Можливо, тема Примусові вібрації (вібрації) з нашого онлайн-курсу також для вас фізика Цікаво.
Вібрації
Можливо, тема вібрацій з нашого онлайн-курсу також для вас фізика Цікаво.